Estudio de asíntotas, monotonía y extremos de una función racional

**a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio donde el límite de la función tiende a infinito. El dominio de $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ es $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Si el denominador se anula en un punto y el numerador no, existe una asíntota vertical en ese punto. Al ser los límites infinitos, confirmamos que existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x-1} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1$$ 💡 **Tip:** Existe una asíntota oblicua si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = x + 1}$$

**b) [1,5 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de $f$. Calcula los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2)'(x-1) - x^2(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$$ Obtenemos los valores **$x = 0$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Los puntos críticos y los puntos de discontinuidad dividen la recta real en los intervalos de estudio para la monotonía. $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos ($0$ y $2$) y la discontinuidad ($1$). El denominador $(x-1)^2$ siempre es positivo en el dominio. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En $(0, 1) \cup (1, 2)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \text{ y decreciente en } (0, 1) \cup (1, 2)}$$

A partir de la tabla anterior, identificamos los extremos: - Hay un **máximo relativo** en $x = 0$ porque la función pasa de crecer a decrecer. - Hay un **mínimo relativo** en $x = 2$ porque la función pasa de decrecer a crecer. Calculamos los valores de la función (ordenadas): - Para $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{0-1} = 0$. Punto: **$(0, 0)$**. - Para $x = 2$: $f(2) = \frac{2^2}{2-1} = \frac{4}{1} = 4$. Punto: **$(2, 4)$**. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 0) \text{ y mínimo relativo en } (2, 4)}$$