Geometría en el espacio: Plano que contiene a una recta y simetría

**a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$ que contiene a una recta $r$ y a un punto $P$, necesitamos un punto del plano (podemos usar $P$) y dos vectores directores que no sean paralelos. A partir de la ecuación paramétrica de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = t \end{cases}$$ Extraemos un punto $A$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$: - Punto $A(1, -2, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (3, 0, 1)$ El punto proporcionado es $P(1, -1, 0)$. 💡 **Tip:** En la ecuación paramétrica $x = a + v_1t$, el punto es $(a, b, c)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que el plano contenga a la recta y al punto, sus vectores directores serán: 1. El vector director de la recta: $\vec{u} = \vec{v}_r = (3, 0, 1)$. 2. El vector que une el punto $A$ de la recta con el punto $P$: $\vec{w} = \vec{AP}$. Calculamos $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (1 - 1, -1 - (-2), 0 - 0) = (0, 1, 0)$$ Como los vectores $(3, 0, 1)$ y $(0, 1, 0)$ no son proporcionales, definen un plano de forma única. El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\mathbf{i} - (3 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\mathbf{j} + (3 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{k} = -1\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (-1, 0, 3)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar el vector normal del plano.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n} = (-1, 0, 3)$. Sustituimos el vector normal: $$-1x + 0y + 3z + D = 0 \implies -x + 3z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por $P(1, -1, 0)$: $$-(1) + 3(0) + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación del plano es $-x + 3z + 1 = 0$, que multiplicando por $-1$ para simplificar queda: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 3z - 1 = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto de $r$.** Para hallar el simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a una recta $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi'$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi'$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. 3. $M$ será el punto medio del segmento $PP'$, lo que nos permitirá despejar $P'$. 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre se encuentra al otro lado de la recta a la misma distancia, pasando por la proyección perpendicular.

El plano $\pi'$ es perpendicular a $r$, por lo que su vector normal es el director de la recta: $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r = (3, 0, 1)$. Su ecuación es: $$3x + 0y + 1z + D' = 0 \implies 3x + z + D' = 0$$ Como pasa por $P(1, -1, 0)$: $$3(1) + 0 + D' = 0 \implies 3 + D' = 0 \implies D' = -3$$ Ecuación de $\pi': 3x + z - 3 = 0$. Hallamos $M = r \cap \pi'$ sustituyendo las paramétricas de $r$ en $\pi'$: $$3(1 + 3t) + (t) - 3 = 0$$ $$3 + 9t + t - 3 = 0 \implies 10t = 0 \implies t = 0$$ Sustituimos $t=0$ en la recta $r$ para obtener $M$: $$M(1 + 3(0), -2, 0) = M(1, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta $r$.

Sea $P'(x, y, z)$ el punto simétrico buscado. Sabemos que $M(1, -2, 0)$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P(1, -1, 0)$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (1, -2, 0) = \left( \frac{1+x}{2}, \frac{-1+y}{2}, \frac{0+z}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = \frac{1+x}{2} \implies 2 = 1+x \implies x = 1$ 2. $-2 = \frac{-1+y}{2} \implies -4 = -1+y \implies y = -3$ 3. $0 = \frac{0+z}{2} \implies 0 = z$ Por tanto, el punto simétrico es $P'(1, -3, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(1, -3, 0)}$$