Área encerrada entre dos parábolas

**a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.** Para hallar los puntos de corte entre las dos curvas, igualamos sus expresiones: $$x^2 = -x^2 + 4x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación: $$2x^2 - 4x = 0$$ Factorizamos para resolver la ecuación de segundo grado: $$2x(x - 2) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones para las abscisas: 1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$ Ahora calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones (por ejemplo en $y=x^2$): - Si $x_1 = 0 \implies y_1 = 0^2 = 0 \implies P_1(0, 0)$ - Si $x_2 = 2 \implies y_2 = 2^2 = 4 \implies P_2(2, 4)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos darán los límites de integración para calcular el área en los apartados siguientes. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (2, 4)}$$

Para esbozar la región, analizamos las dos funciones: 1. $y = x^2$ es una parábola con vértice en el origen $(0,0)$ y abierta hacia arriba. 2. $y = -x^2 + 4x$ es una parábola abierta hacia abajo. Su vértice se encuentra en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-1)} = 2$. La ordenada del vértice es $y = -(2)^2 + 4(2) = 4$. La región queda comprendida entre $x=0$ y $x=2$. En este intervalo, la parábola cóncava ($y = -x^2 + 4x$) queda por encima de la parábola convexa ($y = x^2$).

**b) [0,75 puntos] Expresa el área como una integral.** El área de una región comprendida entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ se define como: $$A = \int_{a}^{b} [\text{función superior} - \text{función inferior}] \, dx$$ En nuestro caso, en el intervalo $[0, 2]$, la función que queda por encima es $g(x) = -x^2 + 4x$ y la que queda por debajo es $f(x) = x^2$. Por tanto: $$A = \int_{0}^{2} [(-x^2 + 4x) - (x^2)] \, dx$$ Simplificando el integrando: $$A = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al restar las funciones el resultado es negativo, es probable que hayas intercambiado la función superior y la inferior. ✅ **Expresión de la integral:** $$\boxed{A = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) \, dx}$$

**c) [1 punto] Calcula el área.** Procedemos a calcular la integral definida aplicando la Regla de Barrow. Primero hallamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 4x) \, dx = -2 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2$$ Ahora evaluamos en los límites de integración $x=0$ y $x=2$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos el límite superior: $$F(2) = -\frac{2(2)^3}{3} + 2(2)^2 = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}$$ Sustituimos el límite inferior: $$F(0) = -\frac{2(0)^3}{3} + 2(0)^2 = 0$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(2) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{8}{3} \approx 2,67 \text{ u}^2}$$