Optimización del perímetro de una puerta

En primer lugar, definimos las variables que intervienen en el problema basándonos en la figura: - Sea $x$ la base del rectángulo y, por tanto, el diámetro del semicírculo. - Sea $h$ la altura de la parte rectangular de la puerta. - El radio del semicírculo superior será $r = \frac{x}{2}$. El hueco total de la puerta está formado por un rectángulo de base $x$ y altura $h$, y un semicírculo de radio $\frac{x}{2}$.

El enunciado establece que el área total del hueco debe ser de $16\text{ m}^2$. El área total es la suma del área del rectángulo y la del semicírculo: $$A = A_{\text{rectángulo}} + A_{\text{semicírculo}} = 16$$ $$x \cdot h + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 16$$ Operamos para simplificar la expresión: $$xh + \frac{1}{2} \pi \frac{x^2}{4} = 16 \implies xh + \frac{\pi x^2}{8} = 16$$ Despejamos la altura $h$ en función de $x$ para poder sustituirla más adelante: $$xh = 16 - \frac{\pi x^2}{8}$$ $$h = \frac{16}{x} - \frac{\pi x}{8}$$ 💡 **Tip:** Despejar la variable que aparece con menor exponente o de forma lineal suele facilitar los cálculos posteriores en la función a optimizar.

El perímetro $P$ de la puerta es la suma de la base inferior ($x$), los dos laterales rectos ($2h$) y la longitud del arco semicircular superior. La longitud de una circunferencia completa es $L = 2\pi r$. Como tenemos media circunferencia: $$L_{\text{arco}} = \frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r = \pi \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\pi x}{2}$$ El perímetro total es: $$P = x + 2h + \frac{\pi x}{2}$$ Sustituimos la expresión de $h$ que obtuvimos en el paso anterior: $$P(x) = x + 2\left( \frac{16}{x} - \frac{\pi x}{8} \right) + \frac{\pi x}{2}$$ $$P(x) = x + \frac{32}{x} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2}$$ Simplificamos los términos en $x$: $$P(x) = x + \frac{\pi x}{4} + \frac{32}{x} = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right)x + \frac{32}{x}$$ Esta es la función que debemos minimizar.

Para hallar el mínimo, derivamos la función $P(x)$ e igualamos a cero: $$P'(x) = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{32}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$1 + \frac{\pi}{4} - \frac{32}{x^2} = 0 \implies \frac{4 + \pi}{4} = \frac{32}{x^2}$$ $$x^2 = \frac{32 \cdot 4}{4 + \pi} = \frac{128}{4 + \pi}$$ $$x = \sqrt{\frac{128}{4 + \pi}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 2}}{\sqrt{4 + \pi}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4 + \pi}}$$ Consideramos solo el valor positivo ya que $x$ representa una longitud ($x \gt 0$). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$ y la derivada de $ax$ es $a$.

Para confirmar que se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada $P''(x)$: $$P''(x) = \left(\left(1 + \frac{\pi}{4}\right) - 32x^{-2}\right)' = 0 - 32(-2)x^{-3} = \frac{64}{x^3}$$ Como $x = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4 + \pi}}$ es un valor positivo, entonces: $$P''\left(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4 + \pi}}\right) = \frac{64}{\text{positivo}} \gt 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, confirmamos que en ese punto existe un **mínimo relativo**. Calculamos el valor aproximado: $$x = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4 + \pi}} \approx 4,23 \text{ metros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4 + \pi}} \approx 4,23 \text{ m}}$$