Plano de simetría y área de un triángulo en el espacio

**a) [1,75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual $B$ es el simétrico de $A$.** Si el punto $B$ es el simétrico de $A$ respecto a un plano $\pi$, dicho plano debe cumplir dos condiciones geométricas: 1. El vector $\vec{AB}$ debe ser perpendicular al plano. Por lo tanto, $\vec{AB}$ (o un vector proporcional) será el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. 2. El plano debe pasar por el punto medio del segmento $AB$, al que llamaremos $M$. Calculamos primero el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (3 - 1, -1 - 3, -1 - (-1)) = (2, -4, 0).$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 2 para facilitar los cálculos: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 0).$$ 💡 **Tip:** Si un plano es mediador de un segmento, su vector normal coincide con el vector que une los extremos del segmento.

Calculamos el punto medio $M$ del segmento $AB$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{3 - 1}{2}, \frac{-1 - 1}{2} \right) = (2, 1, -1).$$ La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_\pi = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las componentes de nuestro vector normal $(1, -2, 0)$: $$1x - 2y + 0z + D = 0 \implies x - 2y + D = 0.$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por $M(2, 1, -1)$: $$2 - 2(1) + D = 0 \implies 2 - 2 + D = 0 \implies D = 0.$$ La ecuación del plano es $x - 2y = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 2y = 0}$$

**b) [0,75 puntos] Siendo $C(5, 1, 5)$, calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $C$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice (por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$): $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|.$$ Ya conocemos $\vec{AB} = (2, -4, 0)$. Calculamos el vector $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = (5 - 1, 1 - 3, 5 - (-1)) = (4, -2, 6).$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores nos da el área del paralelogramo que forman. Dividimos por 2 para obtener el área del triángulo.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 0 \\ 4 & -2 & 6 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [(-4) \cdot 6]\vec{i} + [0 \cdot 4]\vec{j} + [2 \cdot (-2)]\vec{k} - [4 \cdot (-4)]\vec{k} - [(-2) \cdot 0]\vec{i} - [6 \cdot 2]\vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = -24\vec{i} + 0\vec{j} - 4\vec{k} + 16\vec{k} - 0\vec{i} - 12\vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = -24\vec{i} - 12\vec{j} + 12\vec{k} = (-24, -12, 12).$$ Podemos extraer factor común $12$ para simplificar el cálculo del módulo posterior: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12(-2, -1, 1).$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-24)^2 + (-12)^2 + 12^2} = \sqrt{576 + 144 + 144} = \sqrt{864}.$$ Simplificamos la raíz: $$\sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6}.$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \text{ unidades}^2.$$ Si aproximamos el valor: $$\text{Área} \approx 6 \cdot 2,449 \approx 14,70 \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 6\sqrt{6} \text{ u}^2}$$