Sistema de ecuaciones con parámetros

**a) [1,5 puntos] Determina el valor de $k$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & k & 0 \\ 2 & -1 & k \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & k & 0 & 1 \\ 2 & -1 & k & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & k & 0 \\ 2 & -1 & k \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = [3 \cdot (-1) \cdot 2 + k \cdot k \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot (-3)] - [0 \cdot (-1) \cdot 1 + 3 \cdot k \cdot (-3) + k \cdot 2 \cdot 2]$$ $$|A| = [-6 + k^2 + 0] - [0 - 9k + 4k] = k^2 - 6 - (-5k) = k^2 + 5k - 6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un sistema sea compatible indeterminado (SCI), el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al de la ampliada, pero menor que el número de incógnitas ($rank(A) = rank(A^*) < 3$).

Para que el sistema sea compatible indeterminado, es necesario que $|A| = 0$: $$k^2 + 5k - 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores: **$k = 1$** y **$k = -6$**. **Caso 1: Si $k = -6$** Calculamos el rango de $A^*$ sustituyendo $k = -6$ y usando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & -6 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (-3 - 6 - 6) - (-1 - 9 - 12) = -15 - (-22) = 7 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, $rank(A^*) = 3$. Al ser $rank(A) = 2$ y $rank(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **incompatible**. **Caso 2: Si $k = 1$** Sustituimos $k = 1$ en $A^*$. Sabemos que $|A| = 0$ y existe un menor de orden 2 no nulo $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -5$, por lo que $rank(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (-3 + 1 - 6) - (-1 - 9 + 2) = -8 - (-8) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $rank(A^*) = 2$. Al ser $rank(A) = rank(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1}$$ 💡 **Tip:** En el examen, comprueba siempre ambos valores de $k$ para asegurar cuál cumple la condición de compatibilidad indeterminada.

**b) [1 punto] Resuelve el sistema para $k = 1$.** Como hemos visto, para $k=1$ el sistema es compatible indeterminado con $rank(A)=2$. Podemos prescindir de una ecuación (la tercera, que es combinación lineal de las otras) y tratar una incógnita como parámetro. El sistema reducido es: $$\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$$ Tomamos $x = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: 1. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 1 - 3\lambda$$ 2. Sustituimos $x$ e $y$ en la segunda ecuación para despejar $z$: $$2\lambda - (1 - 3\lambda) + z = 1$$ $$2\lambda - 1 + 3\lambda + z = 1$$ $$5\lambda + z = 2 \implies z = 2 - 5\lambda$$ La solución general del sistema depende del parámetro $\lambda$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 3\lambda \\ z = 2 - 5\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$