Integral por cambio de variable y cálculo de primitiva

**a) [2 puntos] Halla $\int \frac{x^2}{(1 + x^3)^{3/2}} dx$ (sugerencia $t = 1 + x^3$).** Siguiendo la sugerencia del enunciado, utilizaremos el método de integración por cambio de variable o sustitución. Definimos la nueva variable $t$ y calculamos su diferencial: $$t = 1 + x^3$$ Derivamos ambos lados respecto a sus variables: $$dt = 3x^2 dx \implies x^2 dx = \frac{dt}{3}$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable busca simplificar el integrando. Al derivar $x^3$ obtenemos $3x^2$, que coincide con el factor $x^2$ que aparece en el numerador de nuestra integral.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la integral original: $$\int \frac{x^2}{(1 + x^3)^{3/2}} dx = \int \frac{1/3}{t^{3/2}} dt = \frac{1}{3} \int t^{-3/2} dt$$ Ahora aplicamos la regla de integración para potencias $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$: $$\frac{1}{3} \left( \frac{t^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1/2}}{-1/2} \right)$$ Simplificamos la expresión: $$\frac{1}{3} \cdot (-2) \cdot t^{-1/2} = -\frac{2}{3\sqrt{t}} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{1}{t^{a}} = t^{-a}$ y que $t^{1/2} = \sqrt{t}$.

Para finalizar el apartado a), debemos expresar el resultado en función de la variable original $x$, sustituyendo de nuevo $t = 1 + x^3$: $$I = -\frac{2}{3\sqrt{1 + x^3}} + C$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\int \frac{x^2}{(1 + x^3)^{3/2}} dx = -\frac{2}{3\sqrt{1 + x^3}} + C}$$

**b) [0,5 puntos] Halla la primitiva cuya gráfica pasa por el punto $(2, 0)$.** Una primitiva es una función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$. Por el apartado anterior, sabemos que la familia de todas las primitivas es: $$F(x) = -\frac{2}{3\sqrt{1 + x^3}} + C$$ Se nos indica que la gráfica pasa por el punto $(2, 0)$, lo que significa que $F(2) = 0$. Sustituimos $x=2$ e igualamos a cero para hallar el valor de la constante $C$: $$F(2) = -\frac{2}{3\sqrt{1 + 2^3}} + C = 0$$ $$-\frac{2}{3\sqrt{1 + 8}} + C = 0$$ $$-\frac{2}{3\sqrt{9}} + C = 0 \implies -\frac{2}{3 \cdot 3} + C = 0$$ $$-\frac{2}{9} + C = 0 \implies C = \frac{2}{9}$$ 💡 **Tip:** El valor de la constante $C$ es lo que diferencia a una primitiva específica de la integral indefinida general.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = -\frac{2}{3\sqrt{1 + x^3}} + \frac{2}{9}$$ ✅ **Resultado (la primitiva buscada):** $$\boxed{F(x) = \frac{2}{9} - \frac{2}{3\sqrt{1 + x^3}}}$$