Optimización de áreas: cuadrado y circunferencia

Sea $L = 1$ metro la longitud total de la cuerda. Dividimos la cuerda en dos trozos: - Trozo para el cuadrado: su longitud será $x$ metros. - Trozo para la circunferencia: su longitud será $1 - x$ metros. Restricción del dominio: Como son longitudes físicas, debe cumplirse que $0 \le x \le 1$. **1. El Cuadrado:** Si el perímetro del cuadrado es $x$, cada lado $s$ mide: $$4s = x \implies s = \frac{x}{4}$$ El área del cuadrado ($A_c$) es: $$A_c = s^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$$ **2. La Circunferencia:** Si el perímetro (longitud) de la circunferencia es $1 - x$, el radio $r$ se obtiene de: $$2\pi r = 1 - x \implies r = \frac{1 - x}{2\pi}$$ El área del círculo ($A_d$) es: $$A_d = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1 - x}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{(1 - x)^2}{4\pi^2} = \frac{(1 - x)^2}{4\pi}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el perímetro de un cuadrado es $4 \cdot \text{lado}$ y la longitud de una circunferencia es $2\pi \cdot \text{radio}$.

La función objetivo es la suma de ambas áreas, $f(x)$: $$f(x) = A_c + A_d = \frac{x^2}{16} + \frac{(1 - x)^2}{4\pi}$$ Para facilitar la derivación, podemos desarrollar el binomio o derivar directamente usando la regla de la cadena. Queremos encontrar el valor de $x \in [0, 1]$ que minimice esta función. $$\boxed{f(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(1 - x)^2}{4\pi}}$$

Calculamos la primera derivada de $f(x)$ e igualamos a cero: $$f'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(1 - x) \cdot (-1)}{4\pi}$$ Simplificando: $$f'(x) = \frac{x}{8} - \frac{1 - x}{2\pi}$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$\frac{x}{8} - \frac{1 - x}{2\pi} = 0 \implies \frac{x}{8} = \frac{1 - x}{2\pi}$$ Multiplicamos en cruz: $$2\pi x = 8(1 - x)$$ $$2\pi x = 8 - 8x \implies 2\pi x + 8x = 8$$ Sacamos factor común $x$: $$x(2\pi + 8) = 8 \implies x = \frac{8}{2\pi + 8}$$ Simplificando entre 2: $$x = \frac{4}{\pi + 4}$$ Este es el valor del trozo destinado al cuadrado. Aproximadamente, $x \approx 0.56$ metros. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, los puntos críticos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos.

Para comprobar que se trata de un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{8} - \frac{1 - x}{2\pi} \right) = \frac{1}{8} - \left( \frac{-1}{2\pi} \right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi}$$ Como $f''(x) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} \gt 0$ para cualquier valor de $x$ (es una constante positiva), la función es **convexa** en todo su dominio, lo que garantiza que el punto crítico hallado es un **mínimo relativo** (y absoluto en este intervalo). **Cálculo de las longitudes de los trozos:** 1. **Trozo para el cuadrado ($x$):** $$x = \frac{4}{\pi + 4} \text{ metros}$$ 2. **Trozo para la circunferencia ($1-x$):** $$1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4} \text{ metros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Trozo cuadrado: } \frac{4}{\pi + 4} \text{ m, Trozo circunferencia: } \frac{\pi}{\pi + 4} \text{ m}}$$