Perpendicular común y distancia entre rectas

**a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$.** Primero, obtenemos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$ (dada en implícitas), calculamos el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{d_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1 \cdot (-1) - 0) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 0) + \vec{k}(0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1)$$ Buscamos un punto $P_r$ haciendo $x=0$: $$0 - y + 1 = 0 \implies y=1; \quad 0 - z + 1 = 0 \implies z=1 \implies P_r(0, 1, 1)$$ Para la recta $s$ (dada en paramétricas), extraemos directamente: $$\vec{d_s} = (-1, 1, 0), \quad P_s(1, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas $\begin{cases} Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{cases}$ se halla como $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$.

La recta buscada $p$ debe ser perpendicular a $r$ y a $s$, por lo que su vector director $\vec{d_p}$ será el producto vectorial de $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$: $$\vec{d_p} = \vec{d_r} \times \vec{d_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{d_p} = \vec{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1))$$ $$\vec{d_p} = -1\vec{i} - 1\vec{j} + 2\vec{k} = (-1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional a este servirá como dirección. Usaremos $\vec{d_p} = (-1, -1, 2)$.

Sea $R$ un punto genérico de $r$ y $S$ un punto genérico de $s$: $$R(\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda), \quad S(1-t, t, 2)$$ El vector $\vec{RS}$ debe ser paralelo a $\vec{d_p}$, o lo que es lo mismo, perpendicular a $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$: $$\vec{RS} = (1-t-\lambda, t-1-\lambda, 2-(1+\lambda)) = (1-t-\lambda, t-1-\lambda, 1-\lambda)$$ Planteamos el sistema de perpendicularidad: 1) $\vec{RS} \cdot \vec{d_r} = 0 \implies (1-t-\lambda) + (t-1-\lambda) + (1-\lambda) = 0 \implies 1-3\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{3}$ 2) $\vec{RS} \cdot \vec{d_s} = 0 \implies -(1-t-\lambda) + (t-1-\lambda) = 0 \implies -1+t+\lambda+t-1-\lambda = 0 \implies 2t-2=0 \implies t=1$ Calculamos los puntos de contacto: Para $\lambda = 1/3$: $R\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ Para $t = 1$: $S(0, 1, 2)$

La recta buscada $p$ pasa por el punto $S(0, 1, 2)$ y tiene la dirección $\vec{d_p} = (-1, -1, 2)$. Expresamos la recta en su forma paramétrica: ✅ **Resultado:** $$\boxed{p \equiv \begin{cases} x = -m \\ y = 1 - m \\ z = 2 + 2m \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Halla la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** La distancia entre las rectas $r$ y $s$ es el módulo del segmento de la perpendicular común que las une, es decir, el módulo del vector $\vec{RS}$ con los valores de los parámetros hallados anteriormente. Ya conocemos los puntos $R\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ y $S(0, 1, 2)$. $$\vec{RS} = \left(0 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$$ Calculamos la distancia: $$d(r, s) = |\vec{RS}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2}$$ $$d(r, s) = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la fórmula $d(r,s) = \frac{|[\vec{P_r P_s}, \vec{d_r}, \vec{d_s}]|}{|\vec{d_r} \times \vec{d_s}|}$, pero teniendo los puntos $R$ y $S$ es más directo así. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,816 \text{ u.l.}}$$