Operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones lineales

**a) [0,75 puntos] Calcula $BM$.** Para multiplicar la matriz $B$ (de dimensiones $3 \times 1$) por la matriz $M$ (de dimensiones $1 \times 3$), el resultado será una matriz de dimensiones $3 \times 3$. El elemento en la posición $(i, j)$ se obtiene multiplicando el elemento de la fila $i$ de $B$ por el elemento de la columna $j$ de $M$. $$BM = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-1) & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 \\ (-1) \cdot (-1) & (-1) \cdot 1 & (-1) \cdot 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones elementales: $$BM = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Podemos observar que, curiosamente, el resultado es la propia matriz $A$ dada en el enunciado. 💡 **Recuerda:** El producto de matrices solo es posible si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{BM = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Razona si el sistema dado por $AX = B$ tiene solución o no y, en caso afirmativo, cuántas soluciones tiene.** Para estudiar el sistema, analizamos los rangos de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^* = (A|B)$. 1. **Rango de $A$:** Observamos las filas de $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$: - La segunda fila es el doble de la primera: $F_2 = 2F_1$. - La tercera fila es la opuesta de la primera: $F_3 = -F_1$. Como todas las filas son proporcionales a la primera (y la primera no es nula), el número de filas linealmente independientes es 1. $$\text{rg}(A) = 1$$ 2. **Rango de la matriz ampliada $A^*$:** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & -1 \end{array}\right)$$ Analizamos la relación entre las filas completas (incluyendo la columna $B$): - $F_2 = 2F_1 \implies ( -2, 2, 4, 2 ) = 2 \cdot ( -1, 1, 2, 1 )$ - $F_3 = -F_1 \implies ( 1, -1, -2, -1 ) = -1 \cdot ( -1, 1, 2, 1 )$ Como la relación de proporcionalidad se mantiene para la columna de términos independientes, el rango de la ampliada también es 1. $$\text{rg}(A^*) = 1$$ 3. **Aplicación del Teorema de Rouché-Capelli:** - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1$ - Número de incógnitas ($n$) = 3 ($x, y, z$) Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli indica que si los rangos coinciden pero son menores al número de incógnitas, existen infinitas soluciones dependientes de $n - \text{rg}(A)$ parámetros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema tiene infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado)}}$$

**c) [0,75 puntos] Resuelve $AX = B$.** Dado que el rango es 1, el sistema de tres ecuaciones es equivalente a una única ecuación (cualquiera de las tres, ya que son proporcionales). Usamos la primera fila: $$-x + y + 2z = 1$$ Para resolverlo, como tenemos $3$ incógnitas y el rango es $1$, necesitamos $3 - 1 = 2$ parámetros. Sea $y = \lambda$ y $z = \mu$, donde $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$ en función de los parámetros: $$-x + \lambda + 2\mu = 1$$ $$-x = 1 - \lambda - 2\mu$$ $$x = -1 + \lambda + 2\mu$$ La solución general del sistema expresada de forma paramétrica es: $$\begin{cases} x = -1 + \lambda + 2\mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases}$$ O en forma vectorial: $$X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (-1 + \lambda + 2\mu, \lambda, \mu) \text{ con } \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$