Integral indefinida y cálculo de primitiva

**a) [1,75 puntos] Calcula $\int f(x) dx$** La integral que debemos resolver es la integral de un producto de un polinomio por una función logarítmica: $$\int (x+2) \ln(x) dx$$ Para este tipo de funciones, el método más adecuado es la **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias/Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En este caso, el logaritmo va antes que el polinomio.

Elegimos las partes de la integral siguiendo la regla mencionada: - Sea $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} dx$ - Sea $dv = (x+2) dx \implies v = \int (x+2) dx = \dfrac{x^2}{2} + 2x$ Aplicamos la fórmula: $$\int (x+2) \ln(x) dx = \ln(x) \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) - \int \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \frac{1}{x} dx$$ Simplificamos el integrando de la segunda parte distribuyendo $\frac{1}{x}$: $$\left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \frac{1}{x} = \frac{x^2}{2x} + \frac{2x}{x} = \frac{x}{2} + 2$$

Sustituimos la simplificación en la expresión anterior: $$\int f(x) dx = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \ln(x) - \int \left( \frac{x}{2} + 2 \right) dx$$ Calculamos la integral inmediata: $$\int \left( \frac{x}{2} + 2 \right) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^2}{4} + 2x$$ Finalmente, agrupamos todo y añadimos la constante de integración $C$: $$\int (x+2) \ln(x) dx = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \ln(x) - \left( \frac{x^2}{4} + 2x \right) + C$$ ✅ **Resultado del apartado a:** $$\boxed{\int f(x) dx = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \ln(x) - \frac{x^2}{4} - 2x + C}$$

**b) [0,75 puntos] Encuentra la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0)$.** Llamamos $F(x)$ a la primitiva genérica hallada en el apartado anterior: $$F(x) = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \ln(x) - \frac{x^2}{4} - 2x + C$$ Sabemos que la gráfica pasa por $(1, 0)$, lo que significa que **$F(1) = 0$**. Sustituimos $x = 1$ en la expresión: $$F(1) = \left( \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) \ln(1) - \frac{1^2}{4} - 2(1) + C = 0$$ Como $\ln(1) = 0$, el primer término se anula: $$0 - \frac{1}{4} - 2 + C = 0$$ $$-\frac{1}{4} - \frac{8}{4} + C = 0 \implies -\frac{9}{4} + C = 0 \implies C = \frac{9}{4}$$ 💡 **Tip:** El punto $(1,0)$ indica que cuando $x=1$, el valor de la función primitiva es $y=0$. Esto permite determinar el valor de la constante $C$ que hace que la primitiva sea única.

Sustituimos el valor de $C$ obtenido en la función $F(x)$: ✅ **Resultado del apartado b:** $$\boxed{F(x) = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \ln(x) - \frac{x^2}{4} - 2x + \frac{9}{4}}$$