Estudio completo de una función racional: asíntotas y monotonía

**a) [1,5 puntos] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, identificamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Para comprobar si existe una **asíntota vertical** en $x = 1$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{-3x^2 + 2}{x - 1} = \frac{-3(1)^2 + 2}{0^-} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{-3x^2 + 2}{x - 1} = \frac{-3(1)^2 + 2}{0^+} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ Como el límite tiende a infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Una asíntota vertical $x=a$ existe si al menos uno de los límites laterales de la función cuando $x \to a$ es $\pm\infty$. ✅ **Resultado (A. Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

Estudiamos el comportamiento en el infinito para las asíntotas horizontales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3x^2 + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} -3x = \mp\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos ahora la **asíntota oblicua** $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 2}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 2}{x^2 - x} = -3$$ $$n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{-3x^2 + 2}{x - 1} - (-3x) \right]$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 2 + 3x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 2 + 3x^2 - 3x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 2}{x - 1} = -3$$ Por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es $y = -3x - 3$. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, siempre habrá una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (A. Oblicua):** $$\boxed{y = -3x - 3}$$

**b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(-6x)(x - 1) - (-3x^2 + 2)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-6x^2 + 6x + 3x^2 - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-3x^2 + 6x - 2}{(x - 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$-3x^2 + 6x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-3)(-2)}}{2(-3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{-6} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{-6}$$ $$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{-6} = 1 \mp \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Los valores aproximados son $x_1 \approx 0,42$ y $x_2 \approx 1,58$. 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Los puntos críticos y los puntos donde la función no existe (como $x=1$) dividen la recta real en intervalos de estudio.

Para determinar el crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos delimitados por los puntos críticos y la discontinuidad en $x=1$. Notamos que el denominador $(x-1)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del numerador $-3x^2 + 6x - 2$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3}) & 1-\frac{\sqrt{3}}{3} & (1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1) & 1 & (1, 1+\frac{\sqrt{3}}{3}) & 1+\frac{\sqrt{3}}{3} & (1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x \in (-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3})$, tomamos $x=0$: $f'(0) = -2/1 = -2 \lt 0$ (**Decreciente**). - Para $x \in (1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$, tomamos $x=0,5$: $f'(0,5) = \frac{-3(0,25)+6(0,5)-2}{(0,5-1)^2} = \frac{0,25}{0,25} = 1 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x \in (1, 1+\frac{\sqrt{3}}{3})$, tomamos $x=1,5$: $f'(1,5) = \frac{-3(2,25)+6(1,5)-2}{(1,5-1)^2} = \frac{0,25}{0,25} = 1 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x \in (1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$, tomamos $x=2$: $f'(2) = \frac{-3(4)+12-2}{1} = -2 \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } \left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right) \cup \left(1, 1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \\ &\text{Decreciente en: } \left(-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right) \end{aligned}}$$