Posición relativa de dos rectas y ortogonalidad de vectores

**a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, obtenemos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$, que pasa por $A(4, 3, 6)$ y $B(-2, 0, 0)$: - Un punto es $P_r = B(-2, 0, 0)$. - El vector director $\vec{v_r}$ es el vector $\vec{BA}$: $$\vec{v_r} = \vec{BA} = A - B = (4 - (-2), 3 - 0, 6 - 0) = (6, 3, 6).$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 3: $\vec{v_r} = (2, 1, 2)$. Para la recta $s$, dada en paramétricas: - Un punto es $P_s = (2, 0, 1)$. - El vector director es $\vec{v_s} = (1, 1, -2)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta en paramétricas se obtiene de los coeficientes del parámetro $\lambda$.

Comprobamos si los vectores directores son paralelos: $$\frac{2}{1} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{2}{-2}$$ Como los componentes no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, se cortan en un punto o se cruzan en el espacio. Para distinguirlo, calculamos el determinante formado por un vector que une ambas rectas $\vec{P_r P_s}$ y los dos vectores directores: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2 - (-2), 0 - 0, 1 - 0) = (4, 0, 1).$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{P_r P_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]$ mediante el determinante: $$\text{Det} = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\text{Det} = 4 \cdot 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot (-2))$$ $$\text{Det} = (-8 + 0 + 2) - (1 + 8 + 0) = -6 - 9 = -15.$$ Como el determinante es distinto de cero ($\text{Det} \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula, si existen, los puntos $C$ de $s$ tales que los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ son ortogonales.** Un punto genérico $C$ de la recta $s$ tiene la forma: $$C(2 + \lambda, \lambda, 1 - 2\lambda).$$ Calculamos los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ en función de $\lambda$: $$\vec{CA} = A - C = (4 - (2 + \lambda), 3 - \lambda, 6 - (1 - 2\lambda)) = (2 - \lambda, 3 - \lambda, 5 + 2\lambda).$$ $$\vec{CB} = B - C = (-2 - (2 + \lambda), 0 - \lambda, 0 - (1 - 2\lambda)) = (-4 - \lambda, -\lambda, -1 + 2\lambda).$$ La condición de que sean ortogonales es que su producto escalar sea cero: $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0.$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales si su producto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 0$.

Operamos el producto escalar: $$(2 - \lambda)(-4 - \lambda) + (3 - \lambda)(-\lambda) + (5 + 2\lambda)(-1 + 2\lambda) = 0$$ $$-8 - 2\lambda + 4\lambda + \lambda^2 - 3\lambda + \lambda^2 - 5 + 10\lambda - 2\lambda + 4\lambda^2 = 0$$ Agrupamos términos semejantes: - Términos en $\lambda^2$: $\lambda^2 + \lambda^2 + 4\lambda^2 = 6\lambda^2$. - Términos en $\lambda$: $-2\lambda + 4\lambda - 3\lambda + 10\lambda - 2\lambda = 7\lambda$. - Términos independientes: $-8 - 5 = -13$. Obtenemos la ecuación de segundo grado: $$6\lambda^2 + 7\lambda - 13 = 0.$$ Resolvemos para $\lambda$: $$\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-13)}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 312}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{361}}{12} = \frac{-7 \pm 19}{12}$$ Las soluciones son: $$\lambda_1 = \frac{12}{12} = 1$$ $$\lambda_2 = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$$

Sustituimos los valores de $\lambda$ en el punto genérico $C(2 + \lambda, \lambda, 1 - 2\lambda)$: **Para $\lambda = 1$:** $$C_1(2 + 1, 1, 1 - 2(1)) = C_1(3, 1, -1)$$ **Para $\lambda = -\frac{13}{6}$:** $$C_2\left(2 - \frac{13}{6}, -\frac{13}{6}, 1 - 2\left(-\frac{13}{6}\right)\right) = C_2\left(\frac{12-13}{6}, -\frac{13}{6}, 1 + \frac{13}{3}\right) = C_2\left(-\frac{1}{6}, -\frac{13}{6}, \frac{16}{3}\right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{C_1(3, 1, -1) \text{ y } C_2\left(-\dfrac{1}{6}, -\dfrac{13}{6}, \dfrac{16}{3}\right)}$$