Resolución de una ecuación matricial

Para resolver la ecuación $ABX - 2C = CX$, primero debemos agrupar los términos que contienen la incógnita $X$ en un lado de la igualdad y los términos constantes en el otro. $$ABX - CX = 2C$$ Ahora, factorizamos $X$ por la derecha (puesto que en el producto de matrices el orden es fundamental): $$(AB - C)X = 2C$$ Llamaremos $M$ a la matriz resultante de la operación $(AB - C)$. Por lo tanto, la ecuación queda como: $$MX = 2C$$ Si la matriz $M$ es invertible (su determinante es distinto de cero), podremos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $M^{-1}$: $$X = M^{-1}(2C)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las matrices no tienen operación de división. Para "pasar una matriz al otro lado", debemos usar la matriz inversa y respetar siempre el lado por el que multiplicamos (izquierda o derecha).

Calculamos el producto de las matrices $A$ ($3 \times 2$) y $B$ ($2 \times 3$). El resultado será una matriz de dimensión $3 \times 3$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1\cdot 3 + 2\cdot 2) & (1\cdot 1 + 2\cdot (-1)) & (1\cdot 1 + 2\cdot 1) \\ (2\cdot 3 + 1\cdot 2) & (2\cdot 1 + 1\cdot (-1)) & (2\cdot 1 + 1\cdot 1) \\ (0\cdot 3 + 1\cdot 2) & (0\cdot 1 + 1\cdot (-1)) & (0\cdot 1 + 1\cdot 1) \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 3+4 & 1-2 & 1+2 \\ 6+2 & 2-1 & 2+1 \\ 0+2 & 0-1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 8 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 8 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Restamos la matriz $C$ al producto obtenido anteriormente: $$M = AB - C = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 8 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 7-1 & -1-1 & 3-0 \\ 8-(-1) & 1-2 & 3-1 \\ 2-1 & -1-(-1) & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 9 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 9 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para comprobar si $M$ tiene inversa, calculamos su determinante $|M|$. Utilizaremos el desarrollo por los elementos de la tercera fila, ya que contiene dos ceros, lo que facilita el cálculo: $$|M| = \begin{vmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 9 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot ((-2)\cdot 2 - (-1)\cdot 3) = -4 + 3 = -1$$ Como $|M| = -1 \neq 0$, la matriz **$M$ es invertible** y por tanto existe una única solución para $X$. 💡 **Tip:** Desarrollar un determinante por una fila o columna con muchos ceros reduce drásticamente el riesgo de error en las operaciones.

Calculamos $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. 1. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: $$A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 9 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 9 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$$ $$A_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -3, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$$ $$A_{31} = +\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 2 \end{vmatrix} = 15, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 9 & -1 \end{vmatrix} = 12$$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \\ -1 & 15 & 12 \end{pmatrix}$$ 2. Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 2 & -3 & 15 \\ 1 & -2 & 12 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|M| = -1$: $$M^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 2 & -3 & 15 \\ 1 & -2 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & -15 \\ -1 & 2 & -12 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & -15 \\ -1 & 2 & -12 \end{pmatrix}}$$

Primero calculamos $2C$: $$2C = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $M^{-1}$ por $2C$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & -15 \\ -1 & 2 & -12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Operamos fila a fila: - Fila 1: $(0\cdot 2 + 0\cdot(-2) + 1\cdot 2) = 2; \quad (0\cdot 2 + 0\cdot 4 + 1\cdot(-2)) = -2; \quad (0\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 2) = 2$ - Fila 2: $(-2\cdot 2 + 3\cdot(-2) - 15\cdot 2) = -4-6-30 = -40; \quad (-2\cdot 2 + 3\cdot 4 - 15\cdot(-2)) = -4+12+30 = 38; \quad (-2\cdot 0 + 3\cdot 2 - 15\cdot 2) = 0+6-30 = -24$ - Fila 3: $(-1\cdot 2 + 2\cdot(-2) - 12\cdot 2) = -2-4-24 = -30; \quad (-1\cdot 2 + 2\cdot 4 - 12\cdot(-2)) = -2+8+24 = 30; \quad (-1\cdot 0 + 2\cdot 2 - 12\cdot 2) = 0+4-24 = -20$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -40 & 38 & -24 \\ -30 & 30 & -20 \end{pmatrix}}$$