Primitiva de una función con arco tangente

Para hallar la primitiva de la función $f(x) = x \arctan(x)$, debemos calcular su integral indefinida: $$F(x) = \int x \arctan(x) \, dx$$ Esta integral presenta un producto de una función polinómica ($x$) y una función trascendente ($\arctan(x)$), lo que sugiere el uso del método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla **ALPES** (Arco, Logaritmo, Polinómica, Exponencial, Seno/Coseno).

Elegimos las partes según la regla mencionada: - $u = \arctan(x) \implies du = \dfrac{1}{1+x^2} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$$ $$\int x \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$$ $$\boxed{I = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx}$$

Ahora debemos resolver $\int \dfrac{x^2}{1+x^2} \, dx$. Como el grado del numerador es igual al del denominador, realizamos una manipulación algebraica sencilla (sumar y restar 1) o dividimos los polinomios: $$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2 + 1 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2+1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$$ Ahora integramos término a término: $$\int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = x - \arctan(x)$$ Sustituimos este resultado en la expresión general de la integral: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \left( x - \arctan(x) \right) + C$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$$ Agrupando los términos con $\arctan(x)$: $$\boxed{F(x) = \frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + C}$$

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(0, \pi)$, lo que significa que $F(0) = \pi$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de $F(x)$ e igualamos a $\pi$: $$F(0) = \frac{0^2+1}{2} \arctan(0) - \frac{0}{2} + C = \pi$$ Sabemos que $\arctan(0) = 0$, por lo tanto: $$\frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + C = \pi \implies C = \pi$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones trigonométricas inversas se evalúan en radianes. $\arctan(0)$ es el ángulo cuya tangente es $0$, que es $0$ radianes.

Sustituimos el valor de la constante $C = \pi$ en la función $F(x)$ hallada anteriormente para obtener la primitiva específica: $$F(x) = \frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \pi$$ Esta es la función cuya derivada es $x \arctan(x)$ y que cumple la condición inicial dada. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \pi}$$