Cálculo de un límite con indeterminación infinito menos infinito

Para resolver el límite: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\text{sen } x} \right)$$ Evaluamos el límite directamente sustituyendo $x=0$: $$\frac{1}{0} - \frac{\cos(0)}{\text{sen}(0)} = \infty - \infty$$ Nos encontramos ante una **indeterminación de tipo $\infty - \infty$**. Para resolverla, debemos realizar la resta de fracciones obteniendo un común denominador: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\text{sen } x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x - x \cos x}{x \text{sen } x}$$ Si volvemos a evaluar en $x=0$: $$\frac{\text{sen } 0 - 0 \cdot \cos 0}{0 \cdot \text{sen } 0} = \frac{0-0}{0} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $\infty - \infty$ que involucran fracciones suelen transformarse en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ al operar las fracciones, permitiendo así aplicar la Regla de L'Hôpital.

Como tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ y las funciones del numerador y denominador son derivables en el entorno de $0$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: Derivada del numerador: $(\text{sen } x - x \cos x)' = \cos x - (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\text{sen } x)) = \cos x - \cos x + x \text{sen } x = x \text{sen } x$ Derivada del denominador: $(x \text{sen } x)' = 1 \cdot \text{sen } x + x \cos x$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x - x \cos x}{x \text{sen } x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \text{sen } x}{\text{sen } x + x \cos x}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{0 \cdot \text{sen } 0}{\text{sen } 0 + 0 \cdot \cos 0} = \frac{0}{0}$$ La indeterminación persiste, por lo que aplicaremos la regla de nuevo. 💡 **Tip:** Recuerda la regla del producto para derivar: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí la hemos aplicado tanto en el numerador como en el denominador.

Aplicamos L'Hôpital por segunda vez derivando nuevamente numerador y denominador: Derivada del numerador: $(x \text{sen } x)' = \text{sen } x + x \cos x$ Derivada del denominador: $(\text{sen } x + x \cos x)' = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\text{sen } x)) = 2\cos x - x \text{sen } x$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \text{sen } x}{\text{sen } x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x + x \cos x}{2\cos x - x \text{sen } x}$$ Ahora evaluamos sustituyendo $x=0$: $$\frac{\text{sen } 0 + 0 \cdot \cos 0}{2\cos 0 - 0 \cdot \text{sen } 0} = \frac{0 + 0}{2(1) - 0} = \frac{0}{2} = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\text{sen } x} \right) = 0}$$