Volumen de un paralelepípedo y dependencia lineal de vectores

**a) [1,25 puntos] Halla los valores de $\lambda$ para los que el paralelepípedo determinado por $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ tiene volumen 6 unidades cúbicas.** El volumen $V$ de un paralelepípedo definido por tres vectores $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ se calcula mediante el valor absoluto de su producto mixto: $$V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$$ Donde el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ coincide con el determinante de la matriz formada por las componentes de los vectores. 💡 **Tip:** El producto mixto representa el volumen orientado. Al pedirnos un volumen físico de 6 unidades, debemos considerar que el determinante puede ser tanto $6$ como $-6$.

Calculamos el determinante de los vectores $\vec{u} = (2, 3, 4), \vec{v} = (-1, -1, -1)$ y $\vec{w} = (-1, \lambda, -5)$ utilizando la regla de Sarrus: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -5 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$D = [2 \cdot (-1) \cdot (-5)] + [3 \cdot (-1) \cdot (-1)] + [4 \cdot (-1) \cdot \lambda] - [(-1) \cdot (-1) \cdot 4 + \lambda \cdot (-1) \cdot 2 + (-5) \cdot (-1) \cdot 3]$$ $$D = [10 + 3 - 4\lambda] - [4 - 2\lambda + 15]$$ $$D = 13 - 4\lambda - (19 - 2\lambda)$$ $$D = 13 - 4\lambda - 19 + 2\lambda = -2\lambda - 6.$$ El producto mixto en función de $\lambda$ es: $$\boxed{[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -2\lambda - 6}$$

Igualamos el valor absoluto del producto mixto al volumen dado: $$|-2\lambda - 6| = 6$$ Esto genera dos posibles casos: **Caso 1:** $$-2\lambda - 6 = 6 \implies -2\lambda = 12 \implies \lambda = \frac{12}{-2} = -6$$ **Caso 2:** $$-2\lambda - 6 = -6 \implies -2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\lambda = -6 \text{ o } \lambda = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Determina el valor de $\lambda$ para el que $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente dependientes.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si y solo si su determinante (producto mixto) es igual a cero. Geométricamente, esto significa que los vectores son coplanarios y el volumen del paralelepípedo que forman es nulo. Utilizamos el determinante calculado anteriormente: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -2\lambda - 6$$ Igualamos a cero: $$-2\lambda - 6 = 0$$ $$-2\lambda = 6$$ $$\lambda = \frac{6}{-2} = -3$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero, los vectores forman una base de $\mathbb{R}^3$ y son linealmente independientes. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\lambda = -3}$$