Inversa de una suma de matrices y propiedades de determinantes

**a) [1,25 puntos] Calcula la matriz inversa de $(A + B)$.** Primero, calculamos la matriz $C = A + B$ sumando los elementos correspondientes de cada posición: $$C = A + B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2 & 0+1 & 0+2 \\ 1+0 & 1-1 & 0+5 \\ 4+0 & 2+0 & -2+2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{C = A + B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para comprobar si la matriz $C$ es invertible y poder aplicar la fórmula de la inversa, calculamos su determinante $|C|$ mediante la regla de Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 5 \cdot 4) + (2 \cdot 1 \cdot 2) - [ (2 \cdot 0 \cdot 4) + (5 \cdot 2 \cdot 0) + (0 \cdot 1 \cdot 1) ]$$ $$|C| = 0 + 20 + 4 - [ 0 + 0 + 0 ] = 24$$ Como $|C| = 24 \neq 0$, la matriz **es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -10$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -(-20) = 20$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -8$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(C) = \begin{pmatrix} -10 & 20 & 2 \\ 4 & -8 & 4 \\ 5 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Presta mucha atención a la alternancia de signos (+, -, +, ...) en el cálculo de los adjuntos.

La fórmula de la matriz inversa es $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \cdot (Adj(C))^t$. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(C))^t = \begin{pmatrix} -10 & 4 & 5 \\ 20 & -8 & 2 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|C| = 24$: $$(A+B)^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} -10 & 4 & 5 \\ 20 & -8 & 2 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10/24 & 4/24 & 5/24 \\ 20/24 & -8/24 & 2/24 \\ 2/24 & 4/24 & -1/24 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A+B)^{-1} = \begin{pmatrix} -5/12 & 1/6 & 5/24 \\ 5/6 & -1/3 & 1/12 \\ 1/12 & 1/6 & -1/24 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el determinante de $2A^{-1}(A + B)^t$, siendo $(A + B)^t$ la matriz traspuesta de $A + B$.** No es necesario calcular la matriz resultante. Aplicamos las propiedades de los determinantes para matrices de orden $n=3$: 1. $|k \cdot M| = k^n |M|$ 2. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ 3. $|M^{-1}| = 1 / |M|$ 4. $|M^t| = |M|$ Descomponemos la expresión: $$|2A^{-1}(A+B)^t| = 2^3 \cdot |A^{-1}| \cdot |(A+B)^t| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} \cdot |A+B|$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar el escalar al orden de la matriz (en este caso $2^3$ porque son matrices $3 \times 3$).

Calculamos el determinante de $A$. Como $A$ es una matriz triangular inferior (todos los elementos por encima de la diagonal son cero), su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 1 \cdot (-2) = 4$$ Del apartado anterior ya conocemos que $|A+B| = 24$. Sustituimos en nuestra fórmula: $$|2A^{-1}(A+B)^t| = 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 24$$ $$|2A^{-1}(A+B)^t| = 2 \cdot 24 = 48$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(2A^{-1}(A+B)^t) = 48}$$