Función con valor absoluto e integral definida

**a) [0,5 puntos] Expresa la función $f$ definida a trozos.** Para expresar la función $f(x) = \sqrt{3 + |x|}$ a trozos, debemos aplicar la definición del valor absoluto $|x|$: $$|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Como el dominio de la función está restringido al intervalo $[-3, 3]$, aplicamos esta definición dentro de la raíz: 1. Si $-3 \le x < 0$, entonces $|x| = -x$, por lo que $f(x) = \sqrt{3 - x}$. 2. Si $0 \le x \le 3$, entonces $|x| = x$, por lo que $f(x) = \sqrt{3 + x}$. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones con valor absoluto siempre se pueden desglosar en ramas identificando dónde la expresión dentro de las barras cambia de signo. La función definida a trozos queda: $$\boxed{f(x)=\begin{cases} \sqrt{3 - x} & \text{si } -3 \le x < 0,\\ \sqrt{3 + x} & \text{si } 0 \le x \le 3. \end{cases}}$$

**b) [2 puntos] Halla $\int_{-3}^{3} f(x) dx$** Dado que la función cambia su expresión analítica en $x=0$, debemos dividir la integral definida en dos partes utilizando la propiedad de aditividad respecto al intervalo de integración: $$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \int_{-3}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{3} f(x) dx$$ Sustituyendo cada rama: $$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \int_{-3}^{0} \sqrt{3 - x} \, dx + \int_{0}^{3} \sqrt{3 + x} \, dx$$ 💡 **Tip:** Observa que $f(x)$ es una función par, ya que $f(-x) = \sqrt{3 + |-x|} = \sqrt{3 + |x|} = f(x)$. En funciones pares, se cumple que $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$. Esto simplificaría el cálculo, pero procederemos resolviendo ambas partes para mayor detalle.

Calculamos las integrales indefinidas por separado (tratándolas como potencias de exponente $1/2$): Para la segunda rama (más sencilla): $$\int (3+x)^{1/2} dx = \frac{(3+x)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(3+x)^{3/2}$$ Para la primera rama (cuidado con el signo de la derivada interna): $$\int (3-x)^{1/2} dx = -\int -(3-x)^{1/2} dx = -\frac{(3-x)^{3/2}}{3/2} = -\frac{2}{3}(3-x)^{3/2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración $\int [g(x)]^n g'(x) dx = \frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1}$. En la primera rama, la derivada de $(3-x)$ es $-1$, por eso añadimos un signo negativo fuera.

Aplicamos la Regla de Barrow en cada intervalo: $$\int_{-3}^{0} \sqrt{3-x} dx = \left[ -\frac{2}{3}(3-x)^{3/2} \right]_{-3}^{0} = \left( -\frac{2}{3}(3)^{3/2} \right) - \left( -\frac{2}{3}(3 - (-3))^{3/2} \right)$$ $$= -\frac{2}{3}\sqrt{27} + \frac{2}{3}\sqrt{216} = -\frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \frac{2}{3}(6\sqrt{6}) = -2\sqrt{3} + 4\sqrt{6}$$ $$\int_{0}^{3} \sqrt{3+x} dx = \left[ \frac{2}{3}(3+x)^{3/2} \right]_{0}^{3} = \left( \frac{2}{3}(6)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{3}(3)^{3/2} \right)$$ $$= \frac{2}{3}(6\sqrt{6}) - \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 4\sqrt{6} - 2\sqrt{3}$$ Sumamos ambos resultados: $$I = (-2\sqrt{3} + 4\sqrt{6}) + (4\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) = 8\sqrt{6} - 4\sqrt{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-3}^{3} f(x) dx = 8\sqrt{6} - 4\sqrt{3} \approx 12.67}$$