Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$.** Como el enunciado afirma que la función es continua en todo $\mathbb{R}$, debe serlo en particular en los puntos de cambio de rama, $x=0$ y $x=\pi$. Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($x < 0$): $$\lim_{x \to 0^-} (3x + 2) = 3(0) + 2 = 2$$ - Por la derecha ($0 \le x < \pi$): $$\lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2 a \cos(x)) = 0^2 + 2a \cos(0) = 2a \cdot 1 = 2a$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$2 = 2a \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto, el límite debe existir (límites laterales iguales) y coincidir con el valor de la función en ese punto.

Ahora estudiamos la continuidad en $x = \pi$ utilizando el valor obtenido $\mathbf{a = 1}$. La condición es: $$\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} f(x) = f(\pi)$$ Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($0 \le x < \pi$): $$\lim_{x \to \pi^-} (x^2 + 2(1) \cos(x)) = \pi^2 + 2 \cos(\pi) = \pi^2 + 2(-1) = \pi^2 - 2$$ - Por la derecha ($x \ge \pi$): $$\lim_{x \to \pi^+} (ax^2 + b) = 1 \cdot \pi^2 + b = \pi^2 + b$$ Igualamos los resultados: $$\pi^2 - 2 = \pi^2 + b \implies \mathbf{b = -2}$$ Por tanto, los valores para que la función sea continua son: $$\boxed{a = 1, \quad b = -2}$$

**b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de $f$.** Sustituimos los valores $a=1$ y $b=-2$ en la función: $$f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 2 \cos(x) & \text{si } 0 \le x < \pi \\ x^2 - 2 & \text{si } x \ge \pi \end{cases}$$ Para estudiar la derivabilidad, primero derivamos las ramas en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 3 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 2 \sin(x) & \text{si } 0 < x < \pi \\ 2x & \text{si } x > \pi \end{cases}$$ Debemos comprobar si las derivadas laterales coinciden en los puntos conflictivos $x=0$ y $x=\pi$, sabiendo que la función ya es continua en ellos. 💡 **Tip:** No podemos asegurar la derivabilidad en los puntos de unión sin comprobar que las derivadas por la izquierda y por la derecha son iguales.

Estudiamos la derivabilidad en $x = 0$ calculando los límites de $f'(x)$: - Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} 3 = 3$$ - Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 2 \sin(x)) = 2(0) - 2 \sin(0) = 0$$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$ ($3 \neq 0$): **La función no es derivable en $x = 0$.** Geométricamente, esto significa que hay un punto anguloso en $x=0$.

Estudiamos la derivabilidad en $x = \pi$ calculando los límites de $f'(x)$: - Derivada por la izquierda: $$f'(\pi^-) = \lim_{x \to \pi^-} (2x - 2 \sin(x)) = 2\pi - 2 \sin(\pi) = 2\pi - 0 = 2\pi$$ - Derivada por la derecha: $$f'(\pi^+) = \lim_{x \to \pi^+} 2x = 2\pi$$ Como $f'(\pi^-) = f'(\pi^+) = 2\pi$: **La función es derivable en $x = \pi$.** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{f(x) es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$