Geometría analítica: Recta contenida en un plano y plano perpendicular

**a) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por $P$, está contenida en $\pi$ y cuyo vector director es perpendicular a $\vec{u}$.** Sea $r$ la recta buscada y $\vec{d_r}$ su vector director. Analizamos las condiciones dadas: 1. La recta $r$ pasa por el punto $P(-1, 0, 1)$. 2. La recta está contenida en el plano $\pi: y = 0$. Esto implica que su vector director $\vec{d_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\pi$. El vector normal de $\pi$ es $\vec{n_\pi} = (0, 1, 0)$. 3. El vector director $\vec{d_r}$ es perpendicular a $\vec{u} = (1, 2, 1)$. 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Además, el punto por el que pasa la recta debe pertenecer al plano. Comprobamos que $P(-1, 0, 1)$ cumple $y=0$, lo cual es cierto ($0=0$).

Como $\vec{d_r}$ es perpendicular simultáneamente a $\vec{n_\pi}$ y a $\vec{u}$, podemos calcularlo mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{d_r} = \vec{n_\pi} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{d_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \vec{i}(1 - 0) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(0 - 1) = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector que es perpendicular a los dos vectores originales. Es la herramienta ideal para encontrar direcciones ortogonales a dos vectores conocidos.

Utilizamos el punto $P(-1, 0, 1)$ y el vector director $\vec{d_r} = (1, 0, -1)$ para escribir la ecuación de la recta. Podemos darla en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (-1, 0, 1) + \lambda(1, 0, -1)}$$

**b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por $P$, es perpendicular a $\pi$ y del que $\vec{u}$ es un vector director.** Sea $\alpha$ el plano que buscamos. Sus características son: 1. Pasa por $P(-1, 0, 1)$. 2. Es perpendicular al plano $\pi: y = 0$. Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno puede usarse como vector director del otro. Así, $\vec{n_\pi} = (0, 1, 0)$ es un vector director de $\alpha$. 3. $\vec{u} = (1, 2, 1)$ es un vector director de $\alpha$. Por tanto, el plano $\alpha$ está definido por el punto $P$ y los vectores directores $\vec{v_1} = (0, 1, 0)$ y $\vec{v_2} = (1, 2, 1)$. 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores (no paralelos) o por un punto y un vector normal.

La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$, el punto $P(-1, 0, 1)$ y los dos vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - 0 & z - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x + 1 & y & z - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene ceros): $$ -0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} x + 1 & z - 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 = 0$$ $$(x + 1) \cdot 1 - (z - 1) \cdot 1 = 0$$ $$x + 1 - z + 1 = 0$$ $$x - z + 2 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x - z + 2 = 0}$$