Estudio de invertibilidad y resolución de ecuación matricial

**a) [1 punto] Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por tanto, para hallar los valores de $m$ para los que $A$ no tiene inversa, calculamos $\det(A)$ e igualamos a cero. Dada la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m - 1 \\ 0 & m - 1 & 2 - m \\ 0 & -1 & 2 - m \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante desarrollando por la primera columna, ya que tiene dos ceros: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} m - 1 & 2 - m \\ -1 & 2 - m \end{vmatrix} - 0 + 0$$ 💡 **Tip:** Si una fila o columna tiene muchos ceros, es más rápido desarrollar el determinante por ella utilizando los adjuntos correspondientes.

Operamos el determinante de orden 2 resultante: $$\det(A) = (m - 1)(2 - m) - [(-1)(2 - m)]$$ $$\det(A) = (m - 1)(2 - m) + (2 - m)$$ Factorizamos $(2 - m)$ para simplificar los cálculos: $$\det(A) = (2 - m)[(m - 1) + 1] = (2 - m)m$$ $$\det(A) = 2m - m^2$$ Para que la matriz no tenga inversa, el determinante debe ser cero: $$2m - m^2 = 0 \implies m(2 - m) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $m = 0$ 2. $2 - m = 0 \implies m = 2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ no tiene inversa para } m = 0 \text{ y } m = 2}$$

**b) [1,5 puntos] Para $m = 1$, calcula, si existe, la matriz $X$ que verifica la igualdad $A^{-1}XA + I = B$, siendo $I$ la matriz identidad.** Primero comprobamos que para $m=1$ la matriz $A$ tiene inversa. Según el apartado anterior: $$\det(A) = 1(2-1) = 1 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $A^{-1}$ existe. Despejamos la matriz $X$ de la ecuación $A^{-1}XA + I = B$: 1. Restamos $I$ en ambos miembros: $A^{-1}XA = B - I$ 2. Multiplicamos por $A$ por la izquierda: $A(A^{-1}XA) = A(B - I) \implies XA = A(B - I)$ 3. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha: $(XA)A^{-1} = A(B - I)A^{-1} \implies X = A(B - I)A^{-1}$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. No es lo mismo multiplicar por la izquierda que por la derecha ($AB \neq BA$).

Sustituimos $m=1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz $(B - I)$: $$B - I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora el producto parcial $P = A(B - I)$: $$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$$

Para hallar $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Ya sabemos que $|A| = 1$. Calculamos los adjuntos de $A$: $A_{11} = 1$, $A_{12} = 0$, $A_{13} = 0$ $A_{21} = 0$, $A_{22} = 1$, $A_{23} = 1$ $A_{31} = 0$, $A_{32} = -1$, $A_{33} = 0$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa es la traspuesta dividida por el determinante: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el adjunto $A_{ij}$ debes eliminar la fila $i$ y la columna $j$, y aplicar el signo $(-1)^{i+j}$.

Finalmente, calculamos $X = P \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1: $(-2)(1) + 0 + 0 = -2$; $(-2)(0) + 0 + (1)(1) = 1$; $0 + 0 + 0 = 0$ - Fila 2: $0 + 0 + 0 = 0$; $0 + (1)(1) + (-2)(1) = -1$; $0 + (1)(-1) + 0 = -1$ - Fila 3: $(-1)(1) + 0 + 0 = -1$; $0 + (3)(1) + (-2)(1) = 1$; $0 + (3)(-1) + 0 = -3$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}}$$