Integral definida de una función racional

Para resolver la integral $\int_{0}^{1} \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx$, observamos que el grado del numerador es igual al grado del denominador (ambos de grado 2). En estos casos, el primer paso es realizar la división de polinomios o manipular algebraicamente el numerador para descomponer la fracción. Desarrollamos el denominador: $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ Ahora ajustamos el numerador $x^2 + 1$ para que aparezca el denominador: $$x^2 + 1 = (x^2 + 2x + 1) - 2x = (x+1)^2 - 2x$$ Dividimos cada término por $(x+1)^2$: $$\frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 2x}{(x+1)^2} = 1 - \frac{2x}{(x+1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, siempre debemos dividir primero para simplificar la integral.

Aún tenemos el término $\frac{2x}{(x+1)^2}$, que podemos descomponer de nuevo sumando y restando 2 en el numerador para facilitar la integración: $$\frac{2x}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)}{(x+1)^2} - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$ Sustituyendo esto en la expresión anterior del integrando: $$\frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} = 1 - \left( \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} \right) = 1 - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$$ 💡 **Tip:** La descomposición en fracciones simples para una raíz real doble $(x-a)^2$ sigue la forma $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$.

Calculamos la integral indefinida término a término: $$\int \left( 1 - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) dx$$ 1. $\int 1 \, dx = x$ 2. $\int \frac{2}{x+1} \, dx = 2\ln|x+1|$ 3. $\int \frac{2}{(x+1)^2} \, dx = \int 2(x+1)^{-2} \, dx = 2 \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x+1}$ Por tanto, la función primitiva $F(x)$ es: $$F(x) = x - 2\ln|x+1| - \frac{2}{x+1}$$ $$\boxed{F(x) = x - 2\ln|x+1| - \dfrac{2}{x+1}}$$

Para hallar el valor de la integral definida entre 0 y 1, aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_{0}^{1} \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$$ Evaluamos en el límite superior ($x=1$): $$F(1) = 1 - 2\ln|1+1| - \frac{2}{1+1} = 1 - 2\ln(2) - \frac{2}{2} = 1 - 2\ln(2) - 1 = -2\ln(2)$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = 0 - 2\ln|0+1| - \frac{2}{0+1} = 0 - 2\ln(1) - 2 = 0 - 0 - 2 = -2$$ Restamos los resultados: $$I = F(1) - F(0) = -2\ln(2) - (-2) = 2 - 2\ln(2)$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow nos dice que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es cualquier primitiva de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2 - 2\ln(2)}$$