Estudio completo de una función racional: asíntotas, monotonía y extremos

**a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, observamos el dominio de la función. El enunciado indica que $x \neq 0$, por lo que el dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Las **asíntotas verticales** suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida. Calculamos el límite cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \left( -x + \frac{4}{x^2} \right) = -0 + \frac{4}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una recta $x = a$ es una asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales en $a$ es $+\infty$ o $-\infty$. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 0}$$

Buscamos **asíntotas horizontales** calculando los límites en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( -x + \frac{4}{x^2} \right) = \mp\infty + 0 = \mp\infty$$ Al ser los límites infinitos, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos **asíntotas oblicuas** de la forma $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -\frac{x}{x} + \frac{4}{x^3} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -1 + \frac{4}{x^3} \right) = -1$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -x + \frac{4}{x^2} - (-1)x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x^2} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota oblicua tanto en $+\infty$ como en $-\infty$. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador (tras operar la fracción), siempre habrá una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = -x}$$

**b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada de $f(x) = -x + 4x^{-2}$: $$f'(x) = -1 + 4 \cdot (-2)x^{-3} = -1 - \frac{8}{x^3}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -1 - \frac{8}{x^3} = 0 \implies -1 = \frac{8}{x^3} \implies x^3 = -8 \implies x = \sqrt[3]{-8} = -2$$ El punto crítico se encuentra en $x = -2$. También debemos tener en cuenta el punto de discontinuidad $x = 0$ para el estudio del signo.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x = -2$) y la discontinuidad ($x = 0$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & - \\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Si $x \lt -2$: $f'(-3) = -1 - \frac{8}{-27} = -1 + \frac{8}{27} \lt 0$. - Si $-2 \lt x \lt 0$: $f'(-1) = -1 - \frac{8}{-1} = 7 \gt 0$. - Si $x \gt 0$: $f'(1) = -1 - 8 = -9 \lt 0$. Calculamos la ordenada del extremo relativo en $x = -2$: $$f(-2) = -(-2) + \frac{4}{(-2)^2} = 2 + \frac{4}{4} = 3$$ ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** - **Decreciente** en $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$ - **Creciente** en $(-2, 0)$ - **Mínimo relativo** en el punto $\boxed{(-2, 3)}$

**c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Para el esbozo, integramos toda la información obtenida: 1. La función tiene una asíntota vertical en el eje $Y$ ($x = 0$). 2. Se aproxima a la recta $y = -x$ cuando $x$ es muy grande o muy pequeño. 3. Tiene un mínimo relativo en $(-2, 3)$. 4. En el intervalo $(0, +\infty)$, la función es siempre decreciente y viene desde $+\infty$ pegada al eje $Y$. He aquí la representación gráfica interactiva: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -x + \\frac{4}{x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x = 0", "color": "#94a3b8", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y = -x", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "min", "latex": "(-2, 3)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "Mínimo (-2, 3)" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -5, "top": 10 } } }