Geometría en el espacio: planos y rectas con parámetros

**a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$.** Para hallar el plano que contiene a la recta $r$, primero necesitamos conocer un punto y el vector director de dicha recta. La recta viene dada por la intersección de dos planos: $$r \equiv \begin{cases} y - z = 3 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}$$ Podemos obtener su forma paramétrica haciendo $y = t$: - De la segunda ecuación: $-x + 2t = 3 \implies x = 2t - 3$ - De la primera ecuación: $t - z = 3 \implies z = t - 3$ Por tanto, la recta en paramétricas es: $$r \equiv \begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = t \\ z = -3 + t \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v}_r$: $$\boxed{P_r(-3, 0, -3), \quad \vec{v}_r = (2, 1, 1)}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás.

El plano que buscamos (llamémoslo $\alpha$) debe contener a la recta $r$ y pasar por el punto $A(1, 0, 0)$. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no paralelos. Usaremos: 1. El punto $A(1, 0, 0)$. 2. El vector director de la recta: $\vec{u} = \vec{v}_r = (2, 1, 1)$. 3. Un vector que una el punto $A$ con un punto de la recta, por ejemplo $P_r(-3, 0, -3)$: $$\vec{v} = \vec{AP_r} = P_r - A = (-3 - 1, 0 - 0, -3 - 0) = (-4, 0, -3).$$ Comprobamos que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales: $$\frac{2}{-4} \neq \frac{1}{0}$$ Por lo tanto, definen un plano.

El vector normal $\vec{n}_\alpha$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n}_\alpha = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ -4 & 0 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_\alpha = \vec{i}(1 \cdot (-3)) + \vec{j}(1 \cdot (-4)) + \vec{k}(2 \cdot 0) - [ \vec{k}(1 \cdot (-4)) + \vec{i}(1 \cdot 0) + \vec{j}(2 \cdot (-3)) ]$$ $$\vec{n}_\alpha = -3\vec{i} - 4\vec{j} + 0\vec{k} - (-4\vec{k} + 0\vec{i} - 6\vec{j})$$ $$\vec{n}_\alpha = -3\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k} = (-3, 2, 4)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la orientación del plano en la ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\alpha = (-3, 2, 4)$ y el punto $A(1, 0, 0)$: $$-3(x - 1) + 2(y - 0) + 4(z - 0) = 0$$ $$-3x + 3 + 2y + 4z = 0 \implies 3x - 2y - 4z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{3x - 2y - 4z - 3 = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de $r$ y $\pi$ según los valores de $\lambda$.** El plano $\pi$ pasa por $A(1, 0, 0), B(0, 1, 0)$ y $C(0, 0, \lambda)$. Buscamos su vector normal $\vec{n}_\pi$ usando los vectores: $$\vec{AB} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = (0-1, 0-0, \lambda-0) = (-1, 0, \lambda)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda \vec{i} - (-\lambda) \vec{j} + (1) \vec{k} = (\lambda, \lambda, 1)$$ La ecuación del plano $\pi$ pasando por $A(1, 0, 0)$ es: $$\lambda(x - 1) + \lambda(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies \pi \equiv \lambda x + \lambda y + z - \lambda = 0$$

Para estudiar la posición relativa entre la recta $r$ (punto $P_r(-3, 0, -3)$ y vector $\vec{v}_r(2, 1, 1)$) y el plano $\pi$, analizamos el producto escalar entre el vector director de la recta y el normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (2, 1, 1) \cdot (\lambda, \lambda, 1) = 2\lambda + \lambda + 1 = 3\lambda + 1$$ **Caso 1: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$** Esto ocurre cuando $3\lambda + 1 \neq 0 \implies \lambda \neq -1/3$. Si el producto escalar no es cero, el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano. Por tanto, **la recta y el plano se cortan en un punto**. **Caso 2: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$** Esto ocurre cuando $\lambda = -1/3$. En este caso, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para comprobarlo, vemos si el punto $P_r(-3, 0, -3)$ pertenece a $\pi$ para $\lambda = -1/3$: $$-\frac{1}{3}(-3) + -\frac{1}{3}(0) + (-3) - (-\frac{1}{3}) = 1 + 0 - 3 + \frac{1}{3} = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} \neq 0$$ Como el punto de la recta no satisface la ecuación del plano, **la recta es paralela al plano**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \neq -1/3, & \text{recta y plano se cortan en un punto} \\ \text{Si } \lambda = -1/3, & \text{recta y plano son paralelos} \end{cases}}$$