Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & m \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m & 1 \\ m & 1 & 3 & m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El rango de la matriz $A$ es el tamaño del mayor menor no nulo. El sistema será compatible si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & m \\ m & 1 & 3 \end{vmatrix} = (3m - m^2 + 1) - (m^2 + m - 3)$$ $$|A| = 3m - m^2 + 1 - m^2 - m + 3 = -2m^2 + 2m + 4$$ *(Nota: realizando el cálculo paso a paso)*: - Productos directos: $(1 \cdot m \cdot 3) + (-1 \cdot m \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 1) = 3m - m^2 + 1$ - Productos inversos: $(m \cdot m \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (-1 \cdot 1 \cdot m) = m^2 + 3 - m$ - Resta: $(3m - m^2 + 1) - (m^2 + 3 - m) = -2m^2 + 4m - 2$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2m^2 + 4m - 2 = 0 \implies m^2 - 2m + 1 = 0 \implies (m-1)^2 = 0$$ La única raíz es **$m = 1$**. $$\boxed{|A| = -2(m-1)^2}$$

Analizamos los casos según el valor del determinante: **Caso 1: $m \neq 1$** Si $m \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es $3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $\text{rg}(A)$, tenemos: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. **Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera columna $C_1$ y la columna de términos independientes $B$ son idénticas. Esto implica que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. 💡 **Tip:** Si una columna de la matriz $A$ es igual a la columna $B$, el rango no aumentará al añadir dicha columna para formar $A^*$.

**b) [1 punto] Para $m = 2$, si es posible, resuelve el sistema dado.** Como $2 \neq 1$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $m = 2$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante para este valor específico: $$|A|_{m=2} = -2(2-1)^2 = -2(1)^2 = -2$$ 💡 **Tip:** Podemos observar que la columna $B$ es exactamente igual a la primera columna de $A$ ($C_1$). En un sistema determinado, si $B = C_1$, la solución es trivialmente $x=1, y=0, z=0$. Vamos a demostrarlo por la Regla de Cramer.

Calculamos cada incógnita: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$$ *(Nota: el numerador es el propio determinante de A ya que $B = C_1$)* $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{0}{-2} = 0$$ *(Nota: el determinante es 0 por tener dos columnas iguales, $C_1 = C_2$)* $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{0}{-2} = 0$$ *(Nota: el determinante es 0 por tener dos columnas iguales, $C_1 = C_3$)* ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 0, \quad z = 0}$$