Cálculo de una integral definida mediante cambio de variable

**Calcula $\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} dx$ (sugerencia $t = \sqrt[3]{x}$).** Siguiendo la sugerencia del enunciado, aplicamos el cambio de variable $t = \sqrt[3]{x}$. Para poder sustituir el diferencial $dx$, despejamos primero $x$: $$t = \sqrt[3]{x} \implies x = t^3$$ Ahora derivamos respecto a $t$ para obtener $dx$: $$dx = 3t^2 dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es fundamental transformar también el diferencial y los límites de integración.

Calculamos los nuevos límites de integración para la variable $t$ basándonos en la relación $t = \sqrt[3]{x}$: - Si el límite inferior es $x = 0$, entonces $t = \sqrt[3]{0} = 0$. - Si el límite superior es $x = 3$, entonces $t = \sqrt[3]{3}$. Por tanto, la integral se transformará en una integral desde $0$ hasta $\sqrt[3]{3}$.

Sustituimos todos los elementos en la integral original: $$\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} dx = \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} \frac{1}{1 + t} \cdot 3t^2 dt$$ Extraemos la constante fuera de la integral para simplificar el operando: $$3 \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} \frac{t^2}{1 + t} dt$$

Como el grado del numerador ($t^2$) es mayor o igual que el del denominador ($t+1$), realizamos la división polinómica: $$\frac{t^2}{t+1} = (t - 1) + \frac{1}{t+1}$$ Podemos comprobarlo realizando la operación inversa: $(t-1)(t+1) + 1 = t^2 - 1 + 1 = t^2$. Sustituimos esta expresión en nuestra integral: $$3 \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} \left( t - 1 + \frac{1}{t+1} \right) dt$$

Integramos cada término de forma independiente utilizando las reglas básicas de integración: $$\int t \, dt = \frac{t^2}{2}, \quad \int 1 \, dt = t, \quad \int \frac{1}{t+1} \, dt = \ln|t+1|$$ La primitiva de nuestra función es: $$3 \left[ \frac{t^2}{2} - t + \ln|t+1| \right]_{0}^{\sqrt[3]{3}}$$

Aplicamos la **Regla de Barrow**, evaluando en el límite superior y restando el valor en el límite inferior: - Para $t = \sqrt[3]{3}$: $$3 \left( \frac{(\sqrt[3]{3})^2}{2} - \sqrt[3]{3} + \ln(\sqrt[3]{3}+1) \right) = 3 \left( \frac{\sqrt[3]{9}}{2} - \sqrt[3]{3} + \ln(\sqrt[3]{3}+1) \right)$$ - Para $t = 0$: $$3 \left( \frac{0^2}{2} - 0 + \ln|0+1| \right) = 3 (0 - 0 + \ln 1) = 3(0) = 0$$ Restamos ambos resultados: $$I = \frac{3\sqrt[3]{9}}{2} - 3\sqrt[3]{3} + 3\ln(\sqrt[3]{3}+1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$ y que $(\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{3\sqrt[3]{9}}{2} - 3\sqrt[3]{3} + 3\ln(1+\sqrt[3]{3}) \approx 0.692}$$