Cálculo de una función polinómica de tercer grado

**Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto $(0, 2)$ y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es la recta $x + y = 3$.** Una función polinómica de grado 3 tiene la forma general: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Nuestro objetivo es determinar los valores de los parámetros $a, b, c$ y $d$. La primera información es que la función pasa por el punto $(0, 2)$, lo que significa que $f(0) = 2$: $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 2 \implies d = 2$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den un punto $(x_0, y_0)$ por el que pasa la gráfica, tienes la condición directa $f(x_0) = y_0$. $$\boxed{d = 2}$$

Se nos indica que en el punto $(0, 2)$ hay un **extremo relativo**. Esto implica que la derivada de la función en $x = 0$ debe ser igual a cero ($f'(0) = 0$). Calculamos primero la derivada genérica: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ Aplicamos la condición $f'(0) = 0$: $$f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ 💡 **Tip:** En los extremos relativos (máximos o mínimos) de funciones derivables, la pendiente de la recta tangente es horizontal, por tanto, la primera derivada es nula. $$\boxed{c = 0}$$

Se sabe que la recta tangente en $x = 1$ es $x + y = 3$. De aquí obtenemos dos datos cruciales: 1. **La pendiente de la tangente ($f'(1)$):** Despejamos $y$ en la ecuación de la recta: $y = -x + 3$. La pendiente es el coeficiente de $x$, es decir, $m = -1$. Entonces: $$f'(1) = -1$$ 2. **El punto de tangencia ($f(1)$):** Como la recta es tangente a la curva en $x = 1$, ambos comparten el mismo valor de $y$ en ese punto. Sustituimos $x = 1$ en la recta: $y = -1 + 3 = 2$. Entonces, el punto $(1, 2)$ pertenece a la función: $$f(1) = 2$$ 💡 **Tip:** La recta tangente $y = mx + n$ en un punto $x=a$ nos da siempre dos ecuaciones: $f(a) = ma + n$ y $f'(a) = m$.

Ya conocemos $c = 0$ y $d = 2$. La función y su derivada quedan: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + 2$$ $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$$ Aplicamos las condiciones obtenidas en el paso anterior: 1. De $f'(1) = -1$: $$3a(1)^2 + 2b(1) = -1 \implies 3a + 2b = -1$$ 2. De $f(1) = 2$: $$a(1)^3 + b(1)^2 + 2 = 2 \implies a + b = 0$$ Resolvemos el sistema: De la segunda ecuación: $b = -a$. Sustituimos en la primera: $$3a + 2(-a) = -1 \implies 3a - 2a = -1 \implies a = -1$$ Entonces: $$b = -(-1) = 1$$ $$\boxed{a = -1, \, b = 1}$$

Sustituimos los valores de los parámetros $a = -1$, $b = 1$, $c = 0$ y $d = 2$ en la expresión general de la función polinómica de grado 3. La función buscada es: $$\boxed{f(x) = -x^3 + x^2 + 2}$$ Podemos verificar visualmente la solución con el siguiente gráfico interactivo, donde se observa el extremo en $(0,2)$ y la tangencia en $x=1$ con la recta $y = -x + 3$.