Volumen de un tetraedro y recta perpendicular a un plano

**a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$.** Para calcular el volumen de un tetraedro a partir de sus cuatro vértices, primero debemos obtener tres vectores que partan de un mismo punto (por ejemplo, el vértice $A$) hacia los otros tres vértices. Calculamos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 1, -2 - 1, 2 - 1) = (-1, -3, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 1, 0 - 1, 2 - 1) = (-2, -1, 1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (2 - 1, -1 - 1, -2 - 1) = (1, -2, -3)$$ 💡 **Tip:** El orden de la resta es extremo menos origen: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo definen. Calculamos el determinante formado por los vectores $\vec{AB}, \vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = [(-1)(-1)(-3) + (-3)(1)(1) + (1)(-2)(-2)] - [(1)(-1)(1) + (-2)(-3)(-3) + (-2)(-2)(-1)]$$ $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = [-3 - 3 + 4] - [-1 - 18 - 4]$$ $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = -2 - (-23) = 21$$ 💡 **Tip:** El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo definido por los vectores. El tetraedro ocupa exactamente $\frac{1}{6}$ de ese volumen.

Utilizamos la fórmula del volumen del tetraedro: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ Sustituyendo el valor obtenido: $$V = \frac{1}{6} |21| = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5 \text{ u}^3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 3,5 \text{ u}^3}$$

**b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por $D$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $A, B$ y $C$.** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser igual (o paralelo) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. El vector normal al plano se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en él, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(-3 - (-1)) - \vec{j}(-1 - (-2)) + \vec{k}(1 - 6)$$ $$\vec{n}_\pi = -2\vec{i} - 1\vec{j} - 5\vec{k} = (-2, -1, -5)$$ Para simplificar la ecuación de la recta, podemos usar el vector con signo opuesto: $\vec{v}_r = (2, 1, 5)$. 💡 **Tip:** Dos vectores son perpendiculares a su producto vectorial. Por eso el producto vectorial nos da la dirección normal al plano.

Conocemos un punto de la recta, $D(2, -1, -2)$, y su vector director $\vec{v}_r = (2, 1, 5)$. Podemos expresar la recta en su forma continua: $$r: \frac{x - x_D}{v_{r,x}} = \frac{y - y_D}{v_{r,y}} = \frac{z - z_D}{v_{r,z}}$$ Sustituyendo los valores: $$r: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - (-2)}{5}$$ $$r: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{5}$$ O en su forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 5\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{5}}$$