Propiedades de los determinantes y cálculo de parámetros

**a) [0,5 puntos] ¿Cuánto vale $\det(A)$?** Para resolver este apartado, aplicamos la propiedad de los determinantes que indica que si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante de la nueva matriz es $k^n$ veces el determinante de la original: $$\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$$ En este caso, la matriz $A$ es de orden $n = 3$ y el escalar es $k = 2$. Por lo tanto: $$\det(2A) = 2^3 \cdot \det(A) = 8 \cdot \det(A)$$ Como el enunciado nos dice que $\det(2A) = 8$, sustituimos y resolvemos: $$8 = 8 \cdot \det(A) \implies \det(A) = \frac{8}{8} = 1$$ 💡 **Recuerda:** No confundas multiplicar una matriz por un número (afecta a todos los elementos) con multiplicar una fila de un determinante por un número. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A) = 1}$$

**b) [0,75 puntos] Siendo $B$ la matriz que se obtiene de $A$ multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale $\det(B)$?** Utilizamos la propiedad que establece que si se multiplica una fila (o columna) de una matriz por un número $k$, el determinante de la matriz resultante queda multiplicado por ese mismo número $k$. La matriz $B$ se construye a partir de $A$ realizando dos operaciones elementales: 1. $F_1 \to 3 \cdot F_1$ 2. $F_3 \to (-1) \cdot F_3$ Por tanto, el determinante de $B$ será: $$\det(B) = 3 \cdot (-1) \cdot \det(A)$$ Sustituimos el valor hallado en el apartado anterior ($\det(A) = 1$): $$\det(B) = -3 \cdot 1 = -3$$ 💡 **Tip:** Si multiplicásemos las 3 filas por un mismo número $k$, estaríamos ante el caso del apartado anterior y el determinante se multiplicaría por $k^3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(B) = -3}$$

**c) [1,25 puntos] Determina los valores de $x$ para los que la siguiente matriz $A$ verifica que $\det(2A) = 8$, $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x + 1 & 2 & 2 \\ x & -x + 2 & 1 \end{pmatrix}$.** Del apartado (a) sabemos que la condición $\det(2A) = 8$ es equivalente a que **$\det(A) = 1$**. Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ x + 1 & 2 & 2 \\ x & -x + 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = [x \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot x + 1 \cdot (x + 1) \cdot (-x + 2)] - [1 \cdot 2 \cdot x + 1 \cdot (x + 1) \cdot 1 + x \cdot 2 \cdot (-x + 2)]$$ Operamos con cuidado los productos: - Términos positivos: $2x + 2x + (-x^2 + 2x - x + 2) = -x^2 + 5x + 2$ - Términos negativos: $[2x + x + 1 + (-2x^2 + 4x)] = -2x^2 + 7x + 1$ Restamos ambos resultados: $$\det(A) = (-x^2 + 5x + 2) - (-2x^2 + 7x + 1)$$ $$\det(A) = -x^2 + 5x + 2 + 2x^2 - 7x - 1 = x^2 - 2x + 1$$ 💡 **Tip:** También se puede observar que $\det(A) = (x-1)^2$ si se aplican propiedades de columnas ($C_3 - C_2$), facilitando el cálculo. $$\boxed{\det(A) = x^2 - 2x + 1}$$

Igualamos el determinante obtenido al valor que debe cumplir según la condición inicial: $$x^2 - 2x + 1 = 1$$ Restamos 1 en ambos lados de la ecuación: $$x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado incompleta para hallar las raíces: $$x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x - 2 = 0 \implies x = 2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, \quad x = 2}$$