Área de una región delimitada por una función radical y una recta

**a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de $f$ y las rectas.** Primero, identificamos los puntos de intersección entre los elementos que delimitan la región: la función $f(x) = \sqrt{2x-2}$, la recta $r: y = x-5$ y el eje de abscisas ($y = 0$). 1. **Intersección de $f(x)$ con el eje de abscisas:** $$\sqrt{2x-2} = 0 \implies 2x-2 = 0 \implies x=1.$$ El punto es **$(1,0)$**. 2. **Intersección de la recta $y = x-5$ con el eje de abscisas:** $$x-5 = 0 \implies x=5.$$ El punto es **$(5,0)$**. 3. **Intersección de $f(x)$ con la recta $y = x-5$:** $$\sqrt{2x-2} = x-5$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$2x-2 = (x-5)^2 \implies 2x-2 = x^2 - 10x + 25$$ $$x^2 - 12x + 27 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 9$ y $x_2 = 3$. Comprobamos las soluciones en la ecuación original: - Si $x=9$: $\sqrt{2(9)-2} = \sqrt{16} = 4$; $9-5 = 4$. (Válida) - Si $x=3$: $\sqrt{2(3)-2} = \sqrt{4} = 2$; $3-5 = -2$. (No válida, ya que $2 \neq -2$) El punto de corte es **$(9,4)$**. 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones con raíces cuadradas elevando al cuadrado, siempre es obligatorio comprobar las soluciones en la ecuación inicial para descartar soluciones ficticias.

Con los puntos hallados, representamos la región: - La función $f(x) = \sqrt{2x-2}$ es una rama de parábola horizontal que nace en $(1,0)$. - La recta $y = x-5$ pasa por $(5,0)$ y $(9,4)$. - El eje de abscisas limita la región por abajo entre $x=1$ y $x=5$. La región queda comprendida entre $x=1$ y $x=9$. **Interactivo de la región:**

**b) [0,75 puntos] Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.** Observando la gráfica, podemos expresar el área total de dos formas comunes: **Opción 1: Dividiendo en dos recintos según el eje $X$** Desde $x=1$ hasta $x=5$, el área está bajo la curva $f(x)$. Desde $x=5$ hasta $x=9$, el área está limitada superiormente por $f(x)$ e inferiormente por la recta. $$A = \int_{1}^{5} \sqrt{2x-2} \, dx + \int_{5}^{9} (\sqrt{2x-2} - (x-5)) \, dx$$ **Opción 2: Restando áreas (más sencilla para el cálculo)** Podemos calcular el área total bajo la curva $f(x)$ desde $x=1$ hasta $x=9$ y restarle el área del triángulo formado por la recta, el eje $X$ y la vertical $x=9$. $$A = \int_{1}^{9} \sqrt{2x-2} \, dx - \int_{5}^{9} (x-5) \, dx$$ 💡 **Tip:** También podrías integrar respecto al eje $Y$ como una única integral: $A = \int_{0}^{4} [(y+5) - \frac{y^2+2}{2}] \, dy$. Es mucho más rápido, pero en Bachillerato suele ser más estándar usar el eje $X$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \int_{1}^{9} \sqrt{2x-2} \, dx - \int_{5}^{9} (x-5) \, dx}$$

**c) [1 punto] Calcula el área.** Utilizaremos la Opción 2 para el cálculo. Calculamos primero la integral indefinida de la función radical: $$\int \sqrt{2x-2} \, dx = \int (2x-2)^{1/2} \, dx$$ Es una integral casi inmediata del tipo $\int f'(x) [f(x)]^n dx$. Necesitamos un $2$ (la derivada de $2x-2$): $$\frac{1}{2} \int 2(2x-2)^{1/2} \, dx = \frac{1}{2} \frac{(2x-2)^{3/2}}{3/2} = \frac{(2x-2)^{3/2}}{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para la primera parte: $$\int_{1}^{9} \sqrt{2x-2} \, dx = \left[ \frac{(2x-2)^{3/2}}{3} \right]_{1}^{9} = \frac{(2 \cdot 9 - 2)^{3/2}}{3} - \frac{(2 \cdot 1 - 2)^{3/2}}{3}$$ $$= \frac{16^{3/2}}{3} - 0 = \frac{(\sqrt{16})^3}{3} = \frac{4^3}{3} = \frac{64}{3}$$ Calculamos la segunda parte (el área del triángulo): $$\int_{5}^{9} (x-5) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 5x \right]_{5}^{9} = \left( \frac{81}{2} - 45 \right) - \left( \frac{25}{2} - 25 \right)$$ $$= \left( \frac{81-90}{2} \right) - \left( \frac{25-50}{2} \right) = -\frac{9}{2} - (-\frac{25}{2}) = \frac{16}{2} = 8$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo es $\frac{base \cdot altura}{2}$. Aquí la base es $9-5=4$ y la altura es $f(9)=4$, por lo que $Area = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$. ¡Coincide!

Restamos ambos valores obtenidos para hallar el área total del recinto: $$A = \frac{64}{3} - 8$$ Para restar, ponemos común denominador: $$A = \frac{64 - 24}{3} = \frac{40}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{40}{3} \approx 13,33 \text{ u}^2}$$