Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para resolver este ejercicio, necesitamos utilizar la información proporcionada sobre la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ y sus derivadas. Calculamos la primera y segunda derivada de la función: 1. **Primera derivada** (relacionada con los extremos relativos): $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ 2. **Segunda derivada** (relacionada con el punto de inflexión): $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un extremo relativo en $x_0$, entonces $f'(x_0) = 0$. Si tiene un punto de inflexión en $x_1$, entonces $f''(x_1) = 0$.

El enunciado indica que existe un **extremo relativo en el punto $(0, 1)$**. Esto nos aporta dos datos fundamentales: 1. **Pasa por el punto:** $f(0) = 1$ $$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 1 \implies d = 1$$ 2. **Es un extremo (derivada nula):** $f'(0) = 0$ $$3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ De forma inmediata, ya tenemos los valores de dos de las constantes: $$\boxed{c = 0, \quad d = 1}$$

El enunciado indica que existe un **punto de inflexión en $(1, -1)$**. Esto nos aporta otras dos ecuaciones: 1. **Pasa por el punto:** $f(1) = -1$ Sustituyendo $x=1$, $y=-1$ y los valores ya hallados ($c=0, d=1$): $$a(1)^3 + b(1)^2 + 0(1) + 1 = -1 \implies a + b + 1 = -1 \implies a + b = -2 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 2. **Punto de inflexión (segunda derivada nula):** $f''(1) = 0$ $$6a(1) + 2b = 0 \implies 6a + 2b = 0 \implies 3a + b = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** En un punto de inflexión la curvatura cambia, lo que implica que la segunda derivada debe anularse en ese valor de $x$.

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2): $$\begin{cases} a + b = -2 \\ 3a + b = 0 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $b$: $$(3a + b) - (a + b) = 0 - (-2)$$ $$2a = 2 \implies a = 1$$ Sustituimos $a = 1$ en la Ecuación 2: $$3(1) + b = 0 \implies b = -3$$ Por tanto, los valores buscados son: $$\boxed{a = 1, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad d = 1}$$ La función resultante es $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$.