Simetría respecto a un plano y distancia punto-recta

**a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos.** Si dos puntos $A$ y $B$ son simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano es el **plano mediador** del segmento $AB$. Esto significa que: 1. El plano es perpendicular al segmento $AB$, por lo que el vector $\vec{AB}$ es un vector normal al plano ($\vec{n}_\pi$). 2. El plano pasa por el punto medio $M$ del segmento $AB$. Calculamos el punto medio $M$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{-2 + 0}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = (0, -1, 0).$$ 💡 **Tip:** El punto medio $M$ de dos puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ se calcula como $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$.

Calculamos el vector director $\vec{AB}$, que actuará como vector normal $\vec{n}_\pi$ del plano: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} = B - A = (1 - (-1), 0 - (-2), 1 - (-1)) = (2, 2, 2).$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $\vec{n} = (1, 1, 1)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$1x + 1y + 1z + D = 0 \implies x + y + z + D = 0.$$ Como el plano pasa por $M(0, -1, 0)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$0 + (-1) + 0 + D = 0 \implies D = 1.$$ La ecuación del plano es $x + y + z + 1 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y + z + 1 = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula la distancia de $P(-1, 0, 1)$ a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.** Primero, definimos la recta $r$ que pasa por $A(-1, -2, -1)$ y $B(1, 0, 1)$. - Punto de la recta: $A(-1, -2, -1)$. - Vector director: $\vec{v}_r = \vec{AB} = (2, 2, 2)$. Podemos usar $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$. Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos el vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (-1 - (-1), 0 - (-2), 1 - (-1)) = (0, 2, 2).$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta representa la altura del paralelogramo formado por $\vec{AP}$ y $\vec{v}_r$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AP} \times \vec{v}_r$ mediante un determinante: $$\vec{AP} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{AP} \times \vec{v}_r = \vec{i}(2\cdot 1 - 2\cdot 1) - \vec{j}(0\cdot 1 - 2\cdot 1) + \vec{k}(0\cdot 1 - 2\cdot 1)$$ $$\vec{AP} \times \vec{v}_r = 0\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} = (0, 2, -2).$$ Calculamos ahora el módulo de este vector: $$|\vec{AP} \times \vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial es un vector perpendicular a ambos vectores originales.

Calculamos el módulo del vector director de la recta $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}.$$ Racionalizamos el resultado: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1,633 \text{ u.l.}}$$