Operaciones y ecuaciones matriciales

**a) [0,5 puntos] Comprueba que $AA^t - 2A = I$ ($A^t$ denota la traspuesta de $A$ e $I$ la matriz identidad).** Primero, obtenemos la traspuesta de $A$, que consiste en intercambiar filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que $A$ es una matriz simétrica, ya que $A = A^t$. Calculamos el producto $AA^t$: $$AA^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + (-1)(-1) & 2(-1) + (-1)(0) \\ -1(2) + 0(-1) & -1(-1) + 0(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $2A$: $$2A = 2 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, realizamos la resta $AA^t - 2A$: $$AA^t - 2A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4 & -2-(-2) \\ -2-(-2) & 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como el resultado es la matriz identidad $I_2$, queda comprobado que: $$\boxed{AA^t - 2A = I}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera por los de la columna de la segunda y sumamos los resultados.

**b) [0,75 puntos] Calcula $A^{-1}$.** Podemos calcular $A^{-1}$ usando el método de la matriz adjunta. Primero calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = 0$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = -(-1) = 1$ - $A_{22} = 2$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos la inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$ (aunque al ser simétrica $Adj(A)^t = Adj(A)$): $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** También podías usar el apartado (a). Si $AA^t - 2A = I$, entonces $A(A^t - 2I) = I$. Por definición, $A^{-1} = A^t - 2I$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}}$$

**c) [1,25 puntos] Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $XA + I = 3A$.** Primero despejamos la matriz $X$ en la ecuación matricial: $$XA + I = 3A \implies XA = 3A - I$$ Como hemos comprobado en el apartado anterior que $A$ es invertible ($|A| \neq 0$), podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$(XA)A^{-1} = (3A - I)A^{-1}$$ $$X(AA^{-1}) = (3A - I)A^{-1}$$ $$X \cdot I = (3A - I)A^{-1} \implies X = (3A - I)A^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicamos por la derecha en un lado, debemos hacerlo por la derecha en el otro.

Calculamos primero el paréntesis $(3A - I)$: $$3A - I = 3 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$ multiplicando por $A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 5(0) + (-3)(-1) & 5(-1) + (-3)(-2) \\ -3(0) + (-1)(-1) & -3(-1) + (-1)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 3 & -5 + 6 \\ 0 + 1 & 3 + 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}}$$