Cambio de variable en integral definida

**a) [1,25 puntos] Expresa $I$ aplicando el cambio de variable $t = 2 + \sqrt{x + 1}$.** Para aplicar el cambio de variable $t = 2 + \sqrt{x + 1}$, primero debemos despejar $x$ para hallar el diferencial $dx$ y determinar los nuevos límites de integración. 1. **Despejamos $x$:** $$t - 2 = \sqrt{x + 1}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$(t - 2)^2 = x + 1 \implies x = (t - 2)^2 - 1$$ 2. **Calculamos el diferencial $dx$:** Derivamos la expresión de $x$ respecto a $t$: $$dx = 2(t - 2) dt = (2t - 4) dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es fundamental transformar también los límites de integración para no tener que deshacer el cambio al final.

Calculamos los nuevos límites para la variable $t$ sustituyendo los valores de $x$ en la expresión del cambio $t = 2 + \sqrt{x + 1}$: - Si $x = 0$: $$t = 2 + \sqrt{0 + 1} = 2 + 1 = 3$$ - Si $x = 8$: $$t = 2 + \sqrt{8 + 1} = 2 + 3 = 5$$ Los nuevos límites de integración serán de **$3$ a $5$**.

Sustituimos todos los elementos encontrados en la integral original: - El denominador $2 + \sqrt{x + 1}$ se convierte en $t$. - El diferencial $dx$ se convierte en $(2t - 4) dt$. - Los límites pasan de $[0, 8]$ a $[3, 5]$. $$I = \int_3^5 \frac{1}{t} (2t - 4) dt = \int_3^5 \frac{2t - 4}{t} dt$$ Podemos simplificar la expresión dividiendo cada término del numerador por $t$: $$I = \int_3^5 \left( \frac{2t}{t} - \frac{4}{t} \right) dt = \int_3^5 \left( 2 - \frac{4}{t} \right) dt$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I = \int_3^5 \left( 2 - \frac{4}{t} \right) dt}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el valor de $I$.** Calculamos la integral indefinida de la expresión obtenida en el apartado anterior: $$\int \left( 2 - \frac{4}{t} \right) dt = 2t - 4\ln|t|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{t}$ es $\ln|t|$ y la integral de una constante $k$ es $kt$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites superior ($5$) e inferior ($3$): $$I = \left[ 2t - 4\ln|t| \right]_3^5$$ $$I = (2 \cdot 5 - 4\ln 5) - (2 \cdot 3 - 4\ln 3)$$ $$I = (10 - 4\ln 5) - (6 - 4\ln 3)$$ Agrupamos los términos: $$I = 10 - 6 - 4\ln 5 + 4\ln 3 = 4 - 4(\ln 5 - \ln 3)$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$I = 4 - 4\ln\left(\frac{5}{3}\right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = 4 - 4\ln\left(\frac{5}{3}\right) \approx 2,157}$$