Optimización del coste de un depósito cilíndrico

Para resolver este problema de optimización, primero identificamos las variables del cilindro y la magnitud que queremos minimizar (el coste). Sean: - $r$: radio de las tapas del cilindro (en metros). - $h$: altura del cilindro (en metros). El coste total $C$ vendrá dado por el coste de las dos tapas circulares más el coste de la superficie lateral: - Superficie de las dos tapas: $A_{tapas} = 2 \cdot (\pi r^2)$ - Superficie lateral: $A_{lateral} = 2\pi r h$ Aplicando los precios por metro cuadrado: $$C(r, h) = 10 \cdot (2\pi r^2) + 8 \cdot (2\pi r h)$$ $$C(r, h) = 20\pi r^2 + 16\pi r h$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, siempre dibuja o visualiza las partes del cuerpo: un cilindro tiene dos tapas (bases) y una superficie lateral que, al desplegarse, es un rectángulo de base $2\pi r$ y altura $h$.

La función de coste depende de dos variables ($r$ y $h$). Usamos el dato del volumen (capacidad) para dejar la función dependiendo de una sola variable. El volumen de un cilindro es $V = \pi r^2 h$. Sabemos que $V = 20\pi$ m$^3$, por tanto: $$\pi r^2 h = 20\pi$$ $$r^2 h = 20 \implies h = \frac{20}{r^2}$$ Como el radio y la altura representan longitudes físicas, debe cumplirse que $r \gt 0$ y $h \gt 0$. Sustituimos $h$ en la función de coste: $$C(r) = 20\pi r^2 + 16\pi r \left( \frac{20}{r^2} \right)$$ $$C(r) = 20\pi r^2 + \frac{320\pi}{r}$$ 💡 **Tip:** Siempre despeja la variable que resulte más sencilla de sustituir para evitar cálculos complejos o raíces innecesarias.

Para minimizar el coste, calculamos la primera derivada de $C(r)$ respecto a $r$ e igualamos a cero: $$C'(r) = \frac{d}{dr} (20\pi r^2 + 320\pi r^{-1})$$ $$C'(r) = 40\pi r - 320\pi r^{-2} = 40\pi r - \frac{320\pi}{r^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$40\pi r - \frac{320\pi}{r^2} = 0 \implies 40\pi r = \frac{320\pi}{r^2}$$ $$r^3 = \frac{320\pi}{40\pi} = 8$$ $$r = \sqrt[3]{8} = 2 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto es fundamental para derivar funciones con la variable en el denominador.

Para confirmar que $r = 2$ es un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada o usamos la segunda derivada. **Estudio del signo de $C'(r)$:** Para $r \gt 0$, el signo de $C'(r) = \frac{40\pi r^3 - 320\pi}{r^2}$ depende solo del numerador ($r^3 - 8$). $$\begin{array}{c|ccc} r & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline C'(r) & - & 0 & +\\ \hline C(r) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $r \in (0, 2)$, $C'(r) \lt 0$ (la función decrece). - Si $r \in (2, +\infty)$, $C'(r) \gt 0$ (la función crece). Como la función pasa de decrecer a crecer en $r = 2$, existe un **mínimo relativo** en ese punto. Dado que es el único punto crítico en el dominio, es el mínimo absoluto. **Alternativa (Segunda derivada):** $$C''(r) = 40\pi + \frac{640\pi}{r^3}$$ Para $r = 2$: $C''(2) = 40\pi + \frac{640\pi}{8} = 40\pi + 80\pi = 120\pi \gt 0$, lo que confirma el mínimo.

Una vez hallado el radio óptimo $r = 2$ m, calculamos la altura correspondiente usando la relación obtenida en el paso 2: $$h = \frac{20}{r^2} = \frac{20}{2^2} = \frac{20}{4} = 5 \text{ metros}$$ El coste mínimo se obtendrá con un radio de 2 metros y una altura de 5 metros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Radio } r = 2 \text{ m}, \text{ Altura } h = 5 \text{ m}}$$