Planos paralelos, área de un triángulo y volumen de un tetraedro

**a) La ecuación implícita del plano $\sigma$ que pasa por los puntos $A, B$ y $C$, y la posición relativa de los planos $\sigma$ y $\pi$. (2 puntos + 2 puntos)** Para determinar la ecuación del plano $\sigma$ que contiene a los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$, primero obtenemos dos vectores directores del plano a partir de estos puntos: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)$$ El vector normal al plano $\vec{n}_\sigma$ se obtiene mediante el producto vectorial de estos dos vectores: $$\vec{n}_\sigma = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_\sigma = (2 \cdot 3)\mathbf{i} + (0 \cdot (-1))\mathbf{j} + ((-1) \cdot 0)\mathbf{k} - [((-1) \cdot 2)\mathbf{k} + (0 \cdot 0)\mathbf{i} + (3 \cdot (-1))\mathbf{j}]$$ $$\vec{n}_\sigma = 6\mathbf{i} - (-2\mathbf{k} - 3\mathbf{j}) = 6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (6, 3, 2)$$ La ecuación del plano $\sigma$ es de la forma $6x + 3y + 2z + D = 0$. Imponemos que pase por $A(1, 0, 0)$: $$6(1) + 3(0) + 2(0) + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ 💡 **Tip:** También se puede usar la ecuación segmentaria del plano $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ cuando los puntos están sobre los ejes, resultando en $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$, que al multiplicar por 6 da la misma ecuación. ✅ **Resultado (Ecuación de σ):** $$\boxed{\sigma: 6x + 3y + 2z - 6 = 0}$$

Para comparar la posición relativa de $\pi: 6x + 3y + 2z - 12 = 0$ y $\sigma: 6x + 3y + 2z - 6 = 0$, analizamos la proporcionalidad de sus coeficientes: $$\frac{A}{A'} = \frac{6}{6} = 1, \quad \frac{B}{B'} = \frac{3}{3} = 1, \quad \frac{C}{C'} = \frac{2}{2} = 1$$ Como los vectores normales son iguales (o proporcionales), los planos son paralelos o coincidentes. Comparamos ahora los términos independientes: $$\frac{D}{D'} = \frac{-12}{-6} = 2$$ Al cumplirse que $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}$, concluimos que los planos no tienen puntos en común. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{Los planos } \sigma \text{ y } \pi \text{ son paralelos.}}$$

**b) El área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$. (3 puntos)** El área de un triángulo con vértices $A, B, C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores directores: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ En el apartado anterior ya calculamos $\vec{AB} \times \vec{AC} = (6, 3, 2)$. Calculamos su módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$$ Por tanto, el área es: $$Area = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores; el triángulo es exactamente la mitad. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{Area = 3.5 \text{ u}^2}$$

**c) Un punto $P$ del plano $\pi$ y el volumen del tetraedro cuyos vértices son $P, A, B$ y $C$. (3 puntos)** Primero, buscamos un punto $P$ cualquiera que pertenezca al plano $\pi: 6x + 3y + 2z - 12 = 0$. Por simplicidad, asignamos $y = 0$ y $z = 0$: $$6x + 3(0) + 2(0) - 12 = 0 \implies 6x = 12 \implies x = 2$$ Un punto posible es **$P(2, 0, 0)$**. Para calcular el volumen del tetraedro con vértices $P, A, B, C$, usamos el valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AP}$, dividido por 6. Calculamos el vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (2-1, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]$ mediante el determinante: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene más ceros): $$1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (6 - 0) = 6$$ El volumen es: $$Volumen = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]| = \frac{1}{6} |6| = 1 \text{ unidad}^3$$ 💡 **Tip:** Dado que $\sigma \parallel \pi$, la altura del tetraedro es la distancia entre los planos. El volumen también se puede calcular como $V = \frac{1}{3} \cdot Area_{base} \cdot h$. ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{P(2, 0, 0); \quad Volumen = 1 \text{ u}^3}$$