Inversa, invertibilidad y propiedades del determinante

**a) La comprobación de que $A^{-1} = 5^{-1} A^t$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$. (4 puntos)** En primer lugar, obtenemos la matriz traspuesta $A^t$ intercambiando las filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz traspuesta $A^t$ se obtiene convirtiendo la primera fila de $A$ en la primera columna de $A^t$, la segunda fila en la segunda columna, y así sucesivamente.

Para comprobar que $A^{-1} = 5^{-1} A^t$, basta con verificar que el producto de la matriz $A$ por la matriz propuesta como inversa es igual a la matriz identidad $I$, es decir: $A \cdot (5^{-1} A^t) = I$. Esto es equivalente a demostrar que $A \cdot A^t = 5I$: $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos de la matriz resultante: - Elemento (1,1): $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 5$ - Elemento (1,2): $\sqrt{5} \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) = 0$ - Elemento (1,3): $\sqrt{5} \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 0$ - Elemento (2,1): $0 \cdot \sqrt{5} + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 = 0$ - Elemento (2,2): $0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) = 1 + 4 = 5$ - Elemento (2,3): $0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 - 2 = 0$ - Elemento (3,1): $0 \cdot \sqrt{5} + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$ - Elemento (3,2): $0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$ - Elemento (3,3): $0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5$ Por tanto: $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 5I$$ Multiplicando por $5^{-1}$ en ambos lados: $$A \cdot (5^{-1} A^t) = I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = 5^{-1} A^t}$$

**b) Los valores del parámetro real $\lambda$ para los cuales $A - \lambda I$ no es invertible, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. (3 puntos)** Una matriz cuadrada no es invertible si su determinante es igual a cero. Empezamos calculando la matriz $A - \lambda I$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{5} - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & -2 \\ 0 & 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una matriz $M$ es no invertible (o singular) si y solo si $\det(M) = 0$.

Calculamos el determinante de la matriz resultante. Como la primera fila tiene dos ceros, desarrollamos por los elementos de esa fila: $$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} \sqrt{5} - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & -2 \\ 0 & 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (\sqrt{5} - \lambda) \cdot \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante de orden 2: $$\det(A - \lambda I) = (\sqrt{5} - \lambda) \cdot [(1 - \lambda)^2 - (-4)] = (\sqrt{5} - \lambda) \cdot [(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + 4]$$ $$\det(A - \lambda I) = (\sqrt{5} - \lambda) \cdot (\lambda^2 - 2\lambda + 5)$$ Para encontrar cuándo no es invertible, igualamos a cero: $$(\sqrt{5} - \lambda) \cdot (\lambda^2 - 2\lambda + 5) = 0$$

Analizamos las raíces de la ecuación obtenida: 1. $\sqrt{5} - \lambda = 0 \implies \mathbf{\lambda = \sqrt{5}}$ 2. $\lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0$ Para la segunda parte, aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($-16 < 0$), esta parte no tiene soluciones reales. Como el enunciado pide valores del **parámetro real** $\lambda$, la única solución válida es la primera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = \sqrt{5}}$$

**c) El determinante de una matriz cuadrada $B$ cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación $B^{-1} = B^t$. (3 puntos)** Partimos de la ecuación dada: $B^{-1} = B^t$. Si multiplicamos por $B$ en ambos lados (por la izquierda): $$B \cdot B^{-1} = B \cdot B^t \implies I = B \cdot B^t$$ Aplicamos la propiedad de los determinantes: el determinante de un producto es el producto de los determinantes: $$\det(I) = \det(B \cdot B^t) \implies 1 = \det(B) \cdot \det(B^t)$$ Utilizamos la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta, $\det(B^t) = \det(B)$: $$1 = \det(B) \cdot \det(B) \implies 1 = [\det(B)]^2$$ Esto nos da dos posibles valores para el determinante: $$\det(B) = \pm \sqrt{1} \implies \det(B) = 1 \quad \text{ó} \quad \det(B) = -1$$ Como el enunciado indica que el determinante es **mayor que 0** ($|B| > 0$), descartamos la solución negativa. 💡 **Tip:** Recuerda las propiedades clave: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$ y $\det(A^t) = \det(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(B) = 1}$$