Estudio completo de una función racional: asíntotas, monotonía e integración

**a) Dominio y asíntotas de la función $f$. (2 puntos)** Para hallar el dominio de una función racional, buscamos los valores que anulan el denominador: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ Los valores son $x_1 = 3$ y $x_2 = 2$. Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$$ **Asíntotas verticales:** Estudiamos los límites en los puntos que no pertenecen al dominio: $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{0} = \infty \implies x = 2 \text{ es asíntota vertical}$$ $$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{0} = \infty \implies x = 3 \text{ es asíntota vertical}$$ 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales excepto las raíces del denominador. En dichas raíces, si el numerador no es cero, tendremos asíntotas verticales. ✅ **Resultado (Dominio y AV):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}; \text{ AV: } x=2, x=3}$$

Para las **asíntotas horizontales**, calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 - 5x + 6} = 0$$ Por tanto, la recta **$y = 0$** es la asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$. Dado que existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{AH: } y = 0}$$

**b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$. (3 puntos)** Calculamos la primera derivada utilizando la regla del cociente o la regla de la cadena para $f(x) = (x^2-5x+6)^{-1}$: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2-5x+6) - 1 \cdot (2x-5)}{(x^2-5x+6)^2} = \frac{-2x + 5}{(x^2-5x+6)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -2x + 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} = 2.5$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ teniendo en cuenta el punto crítico ($x=2.5$) y los puntos donde la función no está definida ($x=2$ y $x=3$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, 2.5) & 2.5 & (2.5, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ Como el denominador $(x^2-5x+6)^2$ es siempre positivo, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $-2x+5$. 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la monotonía debemos incluir en la recta real tanto los ceros de la derivada como los puntos de discontinuidad del dominio. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente (\(\nearrow\)): } (-\infty, 2) \cup (2, 2.5) \\ &\text{Decreciente (\(\searrow\)): } (2.5, 3) \cup (3, +\infty) \end{aligned}}$$

**c) La integral $\int f(x)dx$. (3 puntos)** Calculamos la integral mediante descomposición en fracciones simples: $$f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$$ $$1 = A(x-3) + B(x-2)$$ Determinamos los coeficientes: - Si $x = 3 \implies 1 = B(1) \implies B = 1$ - Si $x = 2 \implies 1 = A(-1) \implies A = -1$ Entonces: $$\int \frac{1}{x^2-5x+6} dx = \int \frac{-1}{x-2} dx + \int \frac{1}{x-3} dx$$ $$\int f(x)dx = -\ln|x-2| + \ln|x-3| + C = \ln\left| \frac{x-3}{x-2} \right| + C$$ 💡 **Tip:** La integral de $\frac{1}{x-a}$ es $\ln|x-a|$. Siempre es recomendable agrupar los logaritmos si es posible mediante propiedades. ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\ln\left| \frac{x-3}{x-2} \right| + C}$$

**d) El valor de $a \gt 4$ para el que el área de la superficie limitada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $y = 0$, $x = 4$, $x = a$ es $\ln(3/2)$. (2 puntos)** Dado que $a \gt 4$ y para $x \gt 3$ la función $f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-3)}$ es siempre positiva, el área viene dada por la integral definida: $$\text{Área} = \int_{4}^{a} f(x) dx = \left[ \ln\left| \frac{x-3}{x-2} \right| \right]_{4}^{a}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\text{Área} = \ln\left( \frac{a-3}{a-2} \right) - \ln\left( \frac{4-3}{4-2} \right) = \ln\left( \frac{a-3}{a-2} \right) - \ln\left( \frac{1}{2} \right)$$ Como $-\ln(1/2) = \ln(2)$: $$\text{Área} = \ln\left( \frac{a-3}{a-2} \right) + \ln(2) = \ln\left( \frac{2(a-3)}{a-2} \right)$$ Igualamos al valor dado $\ln(3/2)$: $$\ln\left( \frac{2a-6}{a-2} \right) = \ln\left( \frac{3}{2} \right) \implies \frac{2a-6}{a-2} = \frac{3}{2}$$ $$2(2a - 6) = 3(a - 2) \implies 4a - 12 = 3a - 6 \implies a = 6$$ Como $a = 6 \gt 4$, la solución es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 6}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{1}{x^2-5x+6}", "color": "#2563eb" }, { "id": "a_val", "latex": "a=6", "color": "#111827" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{4 \\le x \\le a\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 10, "bottom": -2, "top": 2 } } }