Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

Antes de resolver los apartados, necesitamos obtener los elementos característicos (punto y vector director) de ambas rectas. **Recta $r$:** Viene dada como intersección de dos planos. El vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n_1} = (1, -2, 1)$ y $\vec{n_2} = (3, 1, -1)$: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v_r} = ((-2)(-1) - (1)(1))\mathbf{i} - ((1)(-1) - (1)(3))\mathbf{j} + ((1)(1) - (-2)(3))\mathbf{k}$$ $$\vec{v_r} = (2-1)\mathbf{i} - (-1-3)\mathbf{j} + (1+6)\mathbf{k} = (1, 4, 7)$$ Para obtener un punto $P_r$, fijamos $z=0$ en las ecuaciones de $r$: $$\begin{cases} x - 2y = -3 \\ 3x + y = -1 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por 2 y sumamos: $7x = -5 \implies x = -5/7$. Sustituyendo, $y = -1 - 3(-5/7) = 8/7$. Así, $P_r\left(-\frac{5}{7}, \frac{8}{7}, 0\right)$. **Recta $s$:** Está en forma paramétrica. Identificamos directamente: Vector director: $\vec{v_s} = (0, 2, 1)$ Punto de la recta (para $\alpha=0$): $P_s(1, 0, -2)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

**a) La recta paralela a $r$ que pasa por el punto $(0, 1, 0)$. (3 puntos)** Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director (o uno proporcional). Por tanto, la recta buscada, que llamaremos $t$, tendrá como vector director $\vec{v_t} = \vec{v_r} = (1, 4, 7)$. Nos indican que debe pasar por el punto $P(0, 1, 0)$. La forma más sencilla de escribir la recta es en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo el punto y el vector: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 0}{7}$$ O equivalentemente: $$\boxed{x = \frac{y - 1}{4} = \frac{z}{7}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para definir una recta solo necesitas un punto y una dirección.

**b) El plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a $s$. (3 puntos)** Para que el plano $\pi$ contenga a $r$, debe pasar por el punto $P_r$ y tener a $\vec{v_r}$ como uno de sus vectores directores. Para que sea paralelo a $s$, su otro vector director debe ser $\vec{v_s}$. Utilizaremos el **haz de planos** que contienen a la recta $r$ para simplificar los cálculos. La ecuación del haz es: $$(x - 2y + z + 3) + \lambda(3x + y - z + 1) = 0$$ Reordenando los términos según las variables: $$(1 + 3\lambda)x + (-2 + \lambda)y + (1 - \lambda)z + (3 + \lambda) = 0$$ El vector normal a cualquier plano del haz es $\vec{n_{\pi}} = (1 + 3\lambda, -2 + \lambda, 1 - \lambda)$. Para que el plano sea paralelo a la recta $s$, el vector normal del plano debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v_s} = (0, 2, 1)$: $$\vec{n_{\pi}} \cdot \vec{v_s} = 0 \implies (1 + 3\lambda) \cdot 0 + (-2 + \lambda) \cdot 2 + (1 - \lambda) \cdot 1 = 0$$ $$-4 + 2\lambda + 1 - \lambda = 0 \implies \lambda - 3 = 0 \implies \lambda = 3$$ Sustituimos $\lambda = 3$ en la ecuación del haz: $$(1 + 3(3))x + (-2 + 3)y + (1 - 3)z + (3 + 3) = 0$$ $$10x + y - 2z + 6 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi : 10x + y - 2z + 6 = 0}$$

**c) La distancia entre las rectas $r$ y $s$. (4 puntos)** La distancia entre dos rectas que se cruzan se puede calcular como la distancia de un punto de una de ellas al plano que contiene a la otra y es paralelo a la primera. Precisamente ese es el plano $\pi$ hallado en el apartado anterior. Por tanto, $d(r, s) = d(P_s, \pi)$, donde $P_s(1, 0, -2)$ y $\pi : 10x + y - 2z + 6 = 0$. Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(P_s, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(r, s) = \frac{|10(1) + 1(0) - 2(-2) + 6|}{\sqrt{10^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$ $$d(r, s) = \frac{|10 + 0 + 4 + 6|}{\sqrt{100 + 1 + 4}} = \frac{20}{\sqrt{105}}$$ Racionalizando o dejando en forma radical: $$\boxed{d(r, s) = \frac{20\sqrt{105}}{105} = \frac{4\sqrt{105}}{21} \approx 1.95 \text{ unidades}}$$ 💡 **Tip:** También se puede resolver con la fórmula del volumen del paralelepípedo: $d(r,s) = \frac{|[\vec{P_r P_s}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$.