Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es incompatible. (4 puntos)** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 0 & -1 & a \\ 2 & a & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Capelli, calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot 2) + (-1 \cdot 2 \cdot 0) - [(-1 \cdot a \cdot 2) + (0 \cdot 2 \cdot 1) + (a \cdot 1 \cdot 0)]$$ $$|A| = a^2 + 0 + 0 - (-2a + 0 + 0) = a^2 + 2a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 + 2a = 0 \implies a(a + 2) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ a = -2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El determinante de $A$ nos indica si el sistema tiene solución única. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es 3 y el sistema es Compatible Determinado.

Si **$a = 0$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$: El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$ (ya que $|A|=0$). Calculamos el rango de $A^*$ tomando las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 - (-1)(4 - 2) + 0 = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el Teorema de Rouché-Capelli, como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = 0}$$

Si **$a = -2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$: El menor $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, observamos las filas. Notamos que la fila 3 ($R_3$) es exactamente la opuesta de la fila 1 ($R_1$): $R_3 = -R_1$ tanto en la matriz de coeficientes como en el término independiente ($2 = -(-2)$). Por tanto, la tercera fila es linealmente dependiente. Esto implica que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**.

**b) Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. (3 puntos)** Como hemos visto, esto ocurre para $a = -2$. El sistema se reduce a dos ecuaciones independientes (prescindimos de la tercera por ser dependiente): $$\begin{cases} -2x - z = -2 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, parametrizamos una variable. Sea **$x = \lambda$**: 1. De la primera ecuación: $z = 2 - 2x = 2 - 2\lambda$. 2. Sustituimos $x$ y $z$ en la segunda ecuación: $$2\lambda - 2y + (2 - 2\lambda) = 1$$ $$-2y + 2 = 1 \implies -2y = -1 \implies y = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado con $\text{rg}=2$ y 3 incógnitas, las soluciones dependen de un solo parámetro ($3-2=1$). ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1/2 \\ z = 2 - 2\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) La solución del sistema cuando $a = -1$. (3 puntos)** Para $a = -1$, el determinante $|A| = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \neq 0$. El sistema es Compatible Determinado (solución única). El sistema es: $$\begin{cases} -x - z = -1 \quad (1) \\ 2x - y + z = 1 \quad (2) \\ 2x + z = 2 \quad (3) \end{cases}$$ Podemos resolver por sustitución o reducción. Sumamos las ecuaciones (1) y (3): $$(-x - z) + (2x + z) = -1 + 2 \implies x = 1$$ Sustituimos $x = 1$ en la ecuación (1): $$-1 - z = -1 \implies z = 0$$ Sustituimos $x = 1$ y $z = 0$ en la ecuación (2): $$2(1) - y + 0 = 1 \implies 2 - y = 1 \implies y = 1$$ ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{x = 1, \quad y = 1, \quad z = 0}$$