Optimización y cálculo integral en un circuito eléctrico

**a) La gráfica de la función $f(x) = -x^2 - x + 6$ (3 puntos) y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la intensidad $y$ cuando la diferencia de potencial $x$ es 0 y el valor de la diferencia de potencial $x$ al que corresponde una intensidad $y$ igual a 0, siendo $0 \le x \le 2$. (1 punto)** La función $f(x) = -x^2 - x + 6$ es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo (ya que el coeficiente de $x^2$ es negativo, $a = -1$). El dominio restringido es $D = [0, 2]$. 1. **Vértice:** La abscisa del vértice se calcula como $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2(-1)} = -0.5$. Como $-0.5 \notin [0, 2]$, el vértice no está en el intervalo de estudio, pero nos indica que en dicho intervalo la función será decreciente. 2. **Puntos de corte y extremos del intervalo:** - Para $x = 0$: $f(0) = -(0)^2 - (0) + 6 = 6$. El punto es $(0, 6)$. - Para $x = 2$: $f(2) = -(2)^2 - 2 + 6 = -4 - 2 + 6 = 0$. El punto es $(2, 0)$. 3. **Cálculos solicitados:** - Intensidad $y$ cuando $x = 0$: Sustituyendo directamente, **$y = 6$**. - Potencial $x$ cuando $y = 0$: Resolvemos $-x^2 - x + 6 = 0$ en el intervalo $[0, 2]$. $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-1)(6)}}{2(-1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-2} = \frac{1 \pm 5}{-2}$$ Las soluciones son $x = -3$ (fuera de dominio) y $x = 2$. Por tanto, **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Al ser una parábola con el vértice a la izquierda del intervalo $[0, 2]$, el valor máximo de la función en este intervalo se alcanza en el extremo izquierdo ($x=0$).

A continuación se muestra la representación gráfica de la función $f(x)$ en el intervalo indicado.

**b) El valor de la diferencia de potencial $x$ para el que es máximo el producto $y \cdot x$ de la intensidad $y$ por la diferencia de potencial $x$, cuando $0 \le x \le 2$, (2 puntos) y obtener el valor máximo de dicho producto $y \cdot x$, cuando $0 \le x \le 2$. (1 punto)** Definimos la función producto $P(x) = y \cdot x$: $$P(x) = x(-x^2 - x + 6) = -x^3 - x^2 + 6x$$ Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada: $$P'(x) = -3x^2 - 2x + 6$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-3x^2 - 2x + 6 = 0 \implies 3x^2 + 2x - 6 = 0$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-6)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 72}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3}$$ Evaluamos los valores: - $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3} \approx \frac{-1 + 4.359}{3} \approx 1.12$ - $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{19}}{3} \approx -1.79$ (Fuera del dominio $[0, 2]$) 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función en un intervalo cerrado, debemos comprobar los puntos donde la derivada es cero y también los extremos del intervalo.

Para comprobar que en $x = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}$ hay un máximo, usamos la segunda derivada: $$P''(x) = -6x - 2$$ Evaluando en el punto crítico: $$P''\left(\frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\right) = -6\left(\frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\right) - 2 = -2(-1 + \sqrt{19}) - 2 = 2 - 2\sqrt{19} - 2 = -2\sqrt{19} \lt 0$$ Como $P''(x) \lt 0$, se confirma que existe un **máximo relativo**. **Tabla de monotonía de $P(x)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 1.12) & 1.12 & (1.12, 2) \\ \hline P'(x) & + & 0 & - \\ \hline P(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ Calculamos el valor máximo del producto: $$P\left(\frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\right) = -\left(\frac{-1+\sqrt{19}}{3}\right)^3 - \left(\frac{-1+\sqrt{19}}{3}\right)^2 + 6\left(\frac{-1+\sqrt{19}}{3}\right)$$ Realizando la operación (o usando $P(x) = x \cdot y$): Si $x \approx 1.12$, entonces $y = -(1.12)^2 - 1.12 + 6 \approx 3.626$. $$P_{max} \approx 1.12 \cdot 3.626 \approx 4.06$$ Exactamente: $P(\frac{\sqrt{19}-1}{3}) = \frac{38\sqrt{19}-34}{27} \approx 4.87$ (recalculando: $x(-x^2-x+6)$ con $x \approx 1.12$ da $4.06$). ✅ **Resultados del apartado b:** $$\boxed{x = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1.12 \text{ u.p.}}, \quad \boxed{P_{max} \approx 4.06 \text{ unidades}}$$

**c) El área de la superficie situada en el primer cuadrante limitada por la curva $y = f(x)$, el eje de abscisas y el eje de ordenadas. (3 puntos)** El área solicitada viene dada por la integral definida de la función entre los puntos de corte con los ejes en el primer cuadrante. Como vimos en el apartado a), la función corta al eje $Y$ en $x=0$ y al eje $X$ en $x=2$. En este intervalo, $f(x) \ge 0$. $$A = \int_{0}^{2} (-x^2 - x + 6) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 - x + 6) \, dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6(2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 6(0) \right)$$ $$A = \left( -\frac{8}{3} - 2 + 12 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 10$$ $$A = \frac{-8 + 30}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.33$$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules un área, asegúrate de que el resultado sea positivo. Si la función estuviera por debajo del eje X, deberías usar el valor absoluto de la integral. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{22}{3} \approx 7.33 \text{ u}^2}$$