Intersección de planos, distancias y perpendicularidad

**a) Los valores de $a$ y $b$ para los que el plano $\sigma$ pasa por el punto $(1, 2, 3)$ y, además, dicho plano $\sigma$ es perpendicular al plano $\pi$. (3 puntos)** Identificamos primero los vectores normales de ambos planos: - Para $\pi: x + y + z = 1$, el vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. - Para $\sigma: ax + by + z = 0$, el vector normal es $\vec{n}_\sigma = (a, b, 1)$. Planteamos las dos condiciones del enunciado: 1. **Paso por el punto:** Si $\sigma$ pasa por $P(1, 2, 3)$, sus coordenadas deben cumplir la ecuación del plano: $$a(1) + b(2) + 3 = 0 \implies a + 2b = -3$$ 2. **Perpendicularidad:** Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares (su producto escalar es cero): $$\vec{n}_\pi \cdot \vec{n}_\sigma = 0 \implies (1, 1, 1) \cdot (a, b, 1) = 0 \implies a + b + 1 = 0 \implies a + b = -1$$

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales formado: $$\begin{cases} a + 2b = -3 \\ a + b = -1 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$$ Sustituimos el valor de $b$ en la segunda ecuación: $$a + (-2) = -1 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -2}$$

**b) Los valores de $a$ y $b$ para los cuales sucede que el plano $\sigma$ pasa por el punto $(0, 1, 1)$ y la distancia del punto $(1, 0, 1)$ al plano $\sigma$ es 1. (3 puntos)** Planteamos las nuevas condiciones: 1. **Paso por el punto $(0, 1, 1)$:** $$a(0) + b(1) + 1 = 0 \implies b + 1 = 0 \implies b = -1$$ Ahora la ecuación del plano $\sigma$ es $ax - y + z = 0$. 2. **Distancia del punto $R(1, 0, 1)$ al plano $\sigma$:** La fórmula de la distancia de un punto $(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Aplicamos la fórmula con $d = 1$: $$1 = \frac{|a(1) - 1(0) + 1(1)|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 1^2}} \implies 1 = \frac{|a + 1|}{\sqrt{a^2 + 2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al resolver ecuaciones con valores absolutos y raíces, elevar al cuadrado suele ser el camino más rápido.

Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz y el valor absoluto: $$1^2 = \left( \frac{|a + 1|}{\sqrt{a^2 + 2}} \right)^2 \implies 1 = \frac{(a + 1)^2}{a^2 + 2}$$ $$a^2 + 2 = a^2 + 2a + 1$$ Simplificamos los términos $a^2$: $$2 = 2a + 1 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = -1}$$

**c) Los valores de $a$ y $b$ para los que la intersección de los planos $\pi$ y $\sigma$ es la recta $r$ para la que el vector $(3, 2, -5)$ es un vector director de dicha recta $r$, (3 puntos)** El vector director $\vec{v}_r$ de la recta intersección de dos planos se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores normales: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi \times \vec{n}_\sigma = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = (1-b)\mathbf{i} - (1-a)\mathbf{j} + (b-a)\mathbf{k} = (1-b, a-1, b-a)$$ Para que $(3, 2, -5)$ sea un vector director, debe ser proporcional a $\vec{v}_r$: $$\frac{1-b}{3} = \frac{a-1}{2} = \frac{b-a}{-5}$$

Si igualamos las componentes directamente para que el vector sea exactamente el mismo (es decir, con constante de proporcionalidad $k=1$): 1) $1 - b = 3 \implies b = -2$ 2) $a - 1 = 2 \implies a = 3$ Comprobamos en la tercera componente: 3) $b - a = -2 - 3 = -5$ Como la tercera componente coincide perfectamente, los valores obtenidos son consistentes. ✅ **Resultado (parámetros):** $$\boxed{a = 3, \quad b = -2}$$

**y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta $r$. (1 punto)** La recta $r$ viene dada por el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases}$$ Para hallar un punto cualquiera, podemos asignar un valor arbitrario a una de las variables. Sea $x = 1$: $$\begin{cases} 1 + y + z = 1 \implies y + z = 0 \implies z = -y \\ 3(1) - 2y + z = 0 \implies 3 - 2y + z = 0 \end{cases}$$ Sustituimos $z = -y$ en la segunda ecuación: $$3 - 2y - y = 0 \implies 3 - 3y = 0 \implies y = 1$$ Entonces, $z = -1$. El punto obtenido es $(1, 1, -1)$. 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier valor para una variable (siempre que el sistema resultante tenga solución) para encontrar un punto de la recta. ✅ **Resultado (punto):** $$\boxed{P(1, 1, -1)}$$