Matrices, determinantes e inversa

**a) El determinante de las matrices $(A \cdot (2B)^2)$ (1,5 puntos) y $(A \cdot (2B)^2) \cdot (3A)^{-1}$. (1,5 puntos)** Primero, calculamos los determinantes de las matrices $A$ y $B$ por la regla de Sarrus, ya que los necesitaremos para aplicar las propiedades de los determinantes. Para $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [1\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 0 + (-1)\cdot 1\cdot 1] - [0\cdot 2\cdot (-1) + 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1]$$ $$|A| = [2 + 0 - 1] - [0 + 1 + 1] = 1 - 2 = -1$$ Para $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = [0\cdot 1\cdot (-1) + 1\cdot 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2\cdot 0] - [1\cdot 1\cdot (-1) + 0\cdot 2\cdot 0 + (-1)\cdot 2\cdot 1]$$ $$|B| = [0 + 2 + 0] - [-1 + 0 - 2] = 2 - (-3) = 5$$ $$\boxed{|A| = -1, \quad |B| = 5}$$

Aplicamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^k| = |M|^k$. 3. Para una matriz de orden $n$, $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. En este caso, las matrices son de orden $n=3$. Calculamos $|2B|$: $$|2B| = 2^3 \cdot |B| = 8 \cdot 5 = 40$$ Ahora, calculamos el determinante solicitado: $$|A \cdot (2B)^2| = |A| \cdot |(2B)^2| = |A| \cdot |2B|^2$$ $$|A \cdot (2B)^2| = (-1) \cdot (40)^2 = -1 \cdot 1600 = -1600$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar fuera de un determinante, este sale elevado a la dimensión de la matriz. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A \cdot (2B)^2| = -1600}$$

Aplicamos de nuevo las propiedades de los determinantes, incluyendo que $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$: Primero calculamos $|3A|$: $$|3A| = 3^3 \cdot |A| = 27 \cdot (-1) = -27$$ Entonces: $$|(3A)^{-1}| = \frac{1}{|3A|} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$$ Ahora calculamos el determinante final del producto: $$|(A \cdot (2B)^2) \cdot (3A)^{-1}| = |A \cdot (2B)^2| \cdot |(3A)^{-1}|$$ $$|(A \cdot (2B)^2) \cdot (3A)^{-1}| = (-1600) \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = \frac{1600}{27}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|(A \cdot (2B)^2) \cdot (3A)^{-1}| = \frac{1600}{27}}$$

**b) Las matrices $A^{-1}$ (2 puntos) y $((B \cdot A)^{-1} \cdot B)^{-1}$. (2 puntos)** Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t$. Sabemos que $|A| = -1$. Calculamos los adjuntos $C_{ij}$ de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2-1 = 1$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1-0) = -1$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1-(-1)) = -2$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1-0) = -1$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-(-2) = 3$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1-(-1)) = -2$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$. Transponemos: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Multiplicamos por $\frac{1}{-1}$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

En lugar de calcular inversas y productos complejos, simplificamos la expresión $((B \cdot A)^{-1} \cdot B)^{-1}$ usando las propiedades de la matriz inversa $(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1}$ y $(M^{-1})^{-1} = M$: $$((B \cdot A)^{-1} \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot ((B \cdot A)^{-1})^{-1}$$ $$= B^{-1} \cdot (B \cdot A)$$ $$= (B^{-1} \cdot B) \cdot A$$ $$= I \cdot A = A$$ La matriz resultante es simplemente la matriz $A$ original. 💡 **Tip:** Siempre simplifica las expresiones matriciales antes de operar con los elementos de las matrices para ahorrar tiempo y evitar errores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{((B \cdot A)^{-1} \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) La solución de la ecuación matricial $A \cdot X + B \cdot X = 3I$. (3 puntos)** Extraemos factor común $X$ por la derecha: $$(A + B) \cdot X = 3I$$ Calculamos la matriz suma $S = A + B$: $$S = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $(A+B)^{-1}$: $$(A+B)^{-1} \cdot (A+B) \cdot X = (A+B)^{-1} \cdot 3I$$ $$X = 3 \cdot (A+B)^{-1}$$ Necesitamos hallar $(A+B)^{-1}$. Calculamos el determinante de $S=A+B$: $$|S| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = [0 + 6 + (-6)] - [-6 + 3 + 0] = 0 - (-3) = 3$$ Como $|S| \neq 0$, la matriz tiene inversa.

Calculamos la inversa de $S = A+B$ mediante adjuntos: - $S_{11} = +(0-3) = -3$; $S_{12} = -(0-3) = 3$; $S_{13} = +(3-3) = 0$ - $S_{21} = -(0-(-2)) = -2$; $S_{22} = +(0-(-2)) = 2$; $S_{23} = -(1-2) = 1$ - $S_{31} = +(6-(-6)) = 12$; $S_{32} = -(3-(-6)) = -9$; $S_{33} = +(3-6) = -3$ La matriz adjunta traspuesta es: $$\text{Adj}(S)^t = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -9 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Entonces, $(A+B)^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -9 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$. Finalmente, calculamos $X$: $$X = 3 \cdot \left[ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -9 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -9 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -9 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}}$$