Estudio completo de una función con valor absoluto e integración

**a) El punto o puntos donde la gráfica de la función $f$ corta a los ejes de coordenadas. (2 puntos)** Primero, definimos la función $f(x) = x^2 + |x|$ a trozos utilizando la definición de valor absoluto: $$|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x \lt 0 \\ x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Por tanto, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{si } x \lt 0 \\ x^2 + x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ **Corte con el eje $Y$ (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$: $$f(0) = 0^2 + |0| = 0 \implies \mathbf{(0, 0)}$$ **Corte con el eje $X$ (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$ analizando cada rama: 1. Si $x \lt 0$: $x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$. Las soluciones son $x = 0$ y $x = 1$. Ninguna es menor que $0$, por lo que no hay puntos de corte en esta rama. 2. Si $x \ge 0$: $x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$. Las soluciones son $x = 0$ (válida) y $x = -1$ (no es $\ge 0$). El único punto de corte con los ejes es el origen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(0, 0)}$$

**b) La justificación de que la curva $y = f(x)$ es simétrica respecto al eje de ordenadas. (1 puntos)** Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje $Y$) si es una **función par**, es decir, si se cumple que $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ en su dominio. Calculamos $f(-x)$: $$f(-x) = (-x)^2 + |-x|$$ Sabemos que: - $(-x)^2 = x^2$ - $|-x| = |x|$ (propiedad del valor absoluto) Sustituyendo: $$f(-x) = x^2 + |x| = f(x)$$ Como $f(-x) = f(x)$, la función es par y, por tanto, simétrica respecto al eje de ordenadas. 💡 **Tip:** Gráficamente, esto significa que si doblamos el papel por el eje $Y$, las dos ramas de la gráfica coincidirían perfectamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(-x) = f(x) \implies \text{Simetría par (respecto al eje } Y)}$$

**c) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$, (2 puntos) y el extremo relativo de la función $f$, justificando si es máximo o mínimo relativo. (1 puntos)** Derivamos la función en sus ramas (omitiendo $x=0$ por ahora): $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \text{si } x \lt 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Analizamos el signo de la derivada en cada intervalo: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = 2x - 1$. Como $x$ es negativo, $2x$ es negativo, y al restarle $1$, $f'(x)$ es siempre negativo ($f'(x) \lt 0$). La función es **decreciente**. - Para $x \gt 0$: $f'(x) = 2x + 1$. Como $x$ es positivo, $2x$ es positivo, y al sumarle $1$, $f'(x)$ es siempre positivo ($f'(x) \gt 0$). La función es **creciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer y es continua ($f(0)=0$), por lo que presenta un **mínimo relativo** (que además es absoluto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 0) \quad \text{Creciente: } (0, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 0)}$$

**d) La representación gráfica de dicha curva $y = f(x)$. (1 puntos)** La gráfica está compuesta por dos arcos de parábola que se unen en el origen $(0,0)$. - Para $x \lt 0$, es la parábola $y = x^2 - x$. - Para $x \ge 0$, es la parábola $y = x^2 + x$. Ambas parábolas tienen su vértice fuera de su dominio de definición (en $x=1/2$ y $x=-1/2$ respectivamente), por lo que en el intervalo visible simplemente vemos las ramas crecientes/decrecientes que nacen del origen.

**e) Las integrales definidas $\int_{-1}^0 f(x)dx$ y $\int_0^2 f(x)dx$. (1,5 + 1,5 puntos)** Resolvemos cada integral aplicando la Regla de Barrow y usando la rama correspondiente de la función. **Primera integral ($x \in [-1, 0]$):** En este intervalo $f(x) = x^2 - x$. $$\int_{-1}^0 (x^2 - x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^0$$ $$= \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} \right)$$ $$= 0 - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) = - \left( -\frac{5}{6} \right) = \frac{5}{6}$$ **Segunda integral ($x \in [0, 2]$):** En este intervalo $f(x) = x^2 + x$. $$\int_0^2 (x^2 + x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^2$$ $$= \left( \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right)$$ $$= \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8+6}{3} = \frac{14}{3}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\int_{-1}^0 f(x)dx = \frac{5}{6}} \quad \boxed{\int_0^2 f(x)dx = \frac{14}{3}}$$