Geometría en el espacio: planos, coplanaridad, distancias y volúmenes

**a) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A, B$ y $C$. (3 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $A(0, 0, 1)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 0 - 0, -1 - 1) = (1, 0, -2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 0, 1 - 0, -2 - 1) = (0, 1, -3)$$ Como los vectores no son proporcionales (ya que $\frac{1}{0} \neq \frac{0}{1}$), definen un plano. 💡 **Tip:** Un vector $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ es paralelo a $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ si sus componentes son proporcionales.

El vector normal $\vec{n}$ al plano $\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(0 - (-2)) - \mathbf{j}(-3 - 0) + \mathbf{k}(1 - 0) = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (2, 3, 1)$$ La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal: $$2x + 3y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(0, 0, 1)$ pertenezca al plano: $$2(0) + 3(0) + 1(1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: 2x + 3y + z - 1 = 0}$$

**b) La justificación de que los cuatro puntos $A, B, C$ y $D$, no son coplanarios. (2 puntos)** Cuatro puntos son coplanarios si todos pertenecen al mismo plano. Como ya conocemos la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$, basta comprobar si el punto $D(1, 2, 0)$ satisface dicha ecuación. Sustituimos las coordenadas de $D$ en $\pi: 2x + 3y + z - 1 = 0$: $$2(1) + 3(2) + 1(0) - 1 = 2 + 6 + 0 - 1 = 7$$ Como $7 \neq 0$, el punto $D$ no pertenece al plano $\pi$. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es calcular el determinante formado por los vectores $\vec{AB}, \vec{AC}$ y $\vec{AD}$. Si es distinto de cero, los puntos no son coplanarios (lo calcularemos en el siguiente apartado para el volumen). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puesto que } D \notin \pi, \text{ los cuatro puntos no son coplanarios.}}$$

**c) La distancia del punto $D$ al plano $\pi$, (2 puntos) y el volumen del tetraedro cuyos vértices son $A, B, C$ y $D$. (3 puntos)** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para el punto $D(1, 2, 0)$ y el plano $\pi: 2x + 3y + z - 1 = 0$: $$d(D, \pi) = \frac{|2(1) + 3(2) + 1(0) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{14}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{14}$ arriba y abajo: $$d(D, \pi) = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ unidades de longitud.}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(D, \pi) = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1.87 \text{ u}}$$

El volumen de un tetraedro con vértices $A, B, C, D$ se calcula como la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$. Calculamos primero $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (1 - 0, 2 - 0, 0 - 1) = (1, 2, -1)$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ mediante un determinante: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$= (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (0 \cdot (-3) \cdot 1) + ((-2) \cdot 0 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot (-2)) - (2 \cdot (-3) \cdot 1) - ((-1) \cdot 0 \cdot 0)$$ $$= -1 + 0 + 0 - (-2) - (-6) - 0 = -1 + 2 + 6 = 7$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]| = \frac{1}{6} |7| = \frac{7}{6} \text{ unidades cúbicas.}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área de la base} \cdot \text{Altura}$. La altura es la distancia calculada en el paso anterior y el área es $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{14}$. ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{V = \frac{7}{6} \text{ u}^3}$$