Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) La solución del sistema cuando $\alpha = 0$. (3 puntos)** Sustituimos $\alpha = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ -3x + 2y + 3z = -2 \\ 2x - 5z = -4 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos la **Regla de Cramer**. Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot 2 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) \cdot 0] - [2 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) \cdot (-5) + 1 \cdot 0 \cdot 3]$$ $$|A| = [-10 + 6 + 0] - [8 + 15 + 0] = -4 - 23 = -27$$ Ahora calculamos los determinantes asociados a cada variable: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \\ -4 & 0 & -5 \end{vmatrix} = [-20 - 12 + 0] - [-16 + 0 - 10] = -32 - (-6) = -26$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -3 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & -5 \end{vmatrix} = [10 + 12 + 24] - [-8 - 12 + 30] = 46 - 10 = 36$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix} = [-8 - 4 + 0] - [8 + 0 + 12] = -12 - 20 = -32$$ Las soluciones son: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-26}{-27} = \frac{26}{27}; \quad y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{36}{-27} = -\frac{4}{3}; \quad z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-32}{-27} = \frac{32}{27}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar Cramer el determinante de la matriz debe ser distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left( \frac{26}{27}, -\frac{4}{3}, \frac{32}{27} \right)}$$

Para los apartados b) y c), representamos el sistema mediante su matriz de coeficientes $A$ y su matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & 3 \\ 2 & \alpha & -5 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ -3 & 2 & 3 & -2 \\ 2 & \alpha & -5 & -4 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ en función de $\alpha$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & 3 \\ 2 & \alpha & -5 \end{vmatrix} = [(-10) + 6 + (-6\alpha)] - [8 + 3\alpha + (-15)]$$ $$|A| = [-4 - 6\alpha] - [3\alpha - 7] = -4 - 6\alpha - 3\alpha + 7 = 3 - 9\alpha$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$3 - 9\alpha = 0 \implies 9\alpha = 3 \implies \alpha = \frac{1}{3}$$ Estudiaremos los casos basándonos en el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

**b) El valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema es incompatible. (3 puntos)** Si $\alpha = 1/3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $rang(A) < 3$. Analizamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-3) = 5 \neq 0 \implies rang(A) = 2$$ Ahora analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ con $\alpha = 1/3$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1/3 & -4 \end{vmatrix} = \left[-8 - 4 - 2\right] - \left[8 - 2/3 + 12\right] = -14 - \left[\frac{60-2}{3}\right] = -14 - \frac{58}{3} = -\frac{100}{3} \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $rang(A^*) = 3$. Como $rang(A) = 2 \neq rang(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \frac{1}{3}}$$

**c) Los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema es compatible y determinado (2 puntos) y obtener la solución del sistema en función del parámetro $\alpha$. (2 puntos)** Si $\alpha \neq 1/3$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto, $rang(A) = 3 = rang(A^*) = \text{nº de incógnitas}$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Para hallar la solución en función de $\alpha$, usamos la Regla de Cramer. Ya sabemos que $|A| = 3 - 9\alpha = 3(1 - 3\alpha)$. Calculamos los determinantes modificados: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \\ -4 & \alpha & -5 \end{vmatrix} = [-20 - 12 - 4\alpha] - [-16 + 6\alpha + 10] = -32 - 4\alpha - (6\alpha - 6) = -26 - 10\alpha$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -3 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & -5 \end{vmatrix} = [10 + 12 + 24] - [-8 - 12 + 30] = 46 - 10 = 36$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & \alpha & -4 \end{vmatrix} = [-8 - 4 - 6\alpha] - [8 - 2\alpha + 12] = -12 - 6\alpha - (20 - 2\alpha) = -32 - 4\alpha$$ Las soluciones son: $$x = \frac{-26 - 10\alpha}{3 - 9\alpha}; \quad y = \frac{36}{3 - 9\alpha} = \frac{12}{1 - 3\alpha}; \quad z = \frac{-32 - 4\alpha}{3 - 9\alpha}$$ 💡 **Tip:** Siempre intenta simplificar las fracciones si es posible, extrayendo factores comunes. ✅ **Resultado (Condición):** $$\boxed{\alpha \neq \frac{1}{3}}$$ ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = \frac{10\alpha + 26}{9\alpha - 3}, \quad y = \frac{12}{1 - 3\alpha}, \quad z = \frac{4\alpha + 32}{9\alpha - 3}}$$