Continuidad y derivabilidad de una función con valor absoluto y logaritmo

Para estudiar la continuidad y derivabilidad, primero debemos expresar la función $f(x)$ sin el valor absoluto en la rama $x \gt 0$. Analizamos el signo de la expresión $g(x) = x \ln x$ para $x \gt 0$: - Como $x$ siempre es positivo en este intervalo, el signo depende únicamente de $\ln x$. - $\ln x = 0 \iff x = 1$. - Si $0 \lt x \lt 1$, entonces $\ln x \lt 0$, por lo que $x \ln x \lt 0$. En este caso, $|x \ln x| = -x \ln x$. - Si $x \ge 1$, entonces $\ln x \ge 0$, por lo que $x \ln x \ge 0$. En este caso, $|x \ln x| = x \ln x$. Por tanto, la función definida a trozos queda: $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si } x \le 0, \\ -x \ln x & \text{si } 0 \lt x \lt 1, \\ x \ln x & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|A| = A$ si $A \ge 0$ y $|A| = -A$ si $A \lt 0$.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales. 1. **Valor de la función:** $f(0) = 0$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x \ln x)$. Este límite presenta una indeterminación del tipo $0 \cdot (-\infty)$. Para resolverlo, aplicamos la **Regla de L'Hôpital** reescribiendo la expresión: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{1/x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{-1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0.$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, la función es **continua en $x = 0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en } x = 0}$$

Calculamos la derivada de la función en las cercanías de $x = 0$: - Si $x \lt 0$, $f'(x) = 0$. Por tanto, $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0$. - Si $0 \lt x \lt 1$, derivamos $f(x) = -x \ln x$ usando la regla del producto: $f'(x) = -(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln x + 1)$. Estudiamos el límite de la derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} -(\ln x + 1) = -(-\infty + 1) = +\infty.$$ Como el límite de la derivada por la derecha no es un número real finito, la función **no es derivable en $x = 0$** (presenta una tangente vertical por la derecha). 💡 **Tip:** Si el límite de la función derivada es infinito, la función no es derivable en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) no es derivable en } x = 0}$$

Comprobamos las condiciones de continuidad en $x = 1$: 1. **Valor de la función:** $f(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-x \ln x) = -1 \cdot 0 = 0$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x \ln x) = 1 \cdot 0 = 0$. Dado que $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$, la función es **continua en $x = 1$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en } x = 1}$$

Calculamos las derivadas laterales en $x = 1$ a partir de la función derivada: - Para $0 \lt x \lt 1$: $f'(x) = -(\ln x + 1)$. - Para $x \gt 1$: $f'(x) = (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = \ln x + 1$. Evaluamos los límites laterales de la derivada: - **Derivada por la izquierda:** $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} -(\ln x + 1) = -(0 + 1) = -1$. - **Derivada por la derecha:** $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (\ln x + 1) = 0 + 1 = 1$. Como las derivadas laterales existen pero son distintas ($f'(1^-) \neq f'(1^+)$), la función **no es derivable en $x = 1$**. En este punto la gráfica presenta un punto anguloso. 💡 **Tip:** Un punto es anguloso cuando la función es continua pero las derivadas laterales son finitas y diferentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) no es derivable en } x = 1}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función, donde se puede observar la continuidad en todo el dominio y la falta de suavidad (no derivabilidad) en los puntos de estudio. - En $x=0$: Hay un cambio brusco de pendiente (la curva llega verticalmente). - En $x=1$: Se aprecia el "pico" o punto anguloso característico del valor absoluto.