Cálculo de polinomios a partir de derivadas e integrales

**a) (1 punto) Determine el polinomio $f(x)$, sabiendo que $f'''(x) = 12$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y además verifica: $f(1) = 3 ; f'(1) = 1 ; f''(1) = 4$.** Partimos de la tercera derivada y vamos integrando sucesivamente para hallar las funciones anteriores. La integral de una constante $k$ es $kx + C$. Calculamos $f''(x)$ integrando $f'''(x)$: $$f''(x) = \int f'''(x) \, dx = \int 12 \, dx = 12x + C_1.$$ Para hallar $C_1$, utilizamos la condición $f''(1) = 4$: $$f''(1) = 12(1) + C_1 = 4 \implies 12 + C_1 = 4 \implies C_1 = -8.$$ Por tanto: $$\boxed{f''(x) = 12x - 8}$$

Ahora integramos la segunda derivada para obtener $f'(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int (12x - 8) \, dx = 12 \frac{x^2}{2} - 8x + C_2 = 6x^2 - 8x + C_2.$$ Utilizamos la condición $f'(1) = 1$ para determinar $C_2$: $$f'(1) = 6(1)^2 - 8(1) + C_2 = 1 \implies 6 - 8 + C_2 = 1 \implies -2 + C_2 = 1 \implies C_2 = 3.$$ Así, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = 6x^2 - 8x + 3}$$

Finalmente, integramos $f'(x)$ para hallar el polinomio $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 - 8x + 3) \, dx = 6 \frac{x^3}{3} - 8 \frac{x^2}{2} + 3x + C_3 = 2x^3 - 4x^2 + 3x + C_3.$$ Usamos la última condición dada, $f(1) = 3$: $$f(1) = 2(1)^3 - 4(1)^2 + 3(1) + C_3 = 3 \implies 2 - 4 + 3 + C_3 = 3 \implies 1 + C_3 = 3 \implies C_3 = 2.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. No olvides sumar la constante de integración en cada paso. ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 2}$$

**b) (1 punto) Determine el polinomio $g(x)$, sabiendo que $g''(x) = 6$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y que además verifica $\int_0^1 g(x) \, dx = 5$ y $\int_0^2 g(x) \, dx = 14$.** Primero, integramos $g''(x)$ dos veces para conocer la forma general de $g(x)$: $$g'(x) = \int 6 \, dx = 6x + A.$$ $$g(x) = \int (6x + A) \, dx = 3x^2 + Ax + B.$$ Donde $A$ y $B$ son las constantes de integración que debemos determinar mediante las integrales definidas dadas. 💡 **Tip:** Al ser $g''(x)$ una constante, sabemos que $g(x)$ será un polinomio de segundo grado.

Aplicamos la Regla de Barrow para la primera integral: $$\int_0^1 (3x^2 + Ax + B) \, dx = 5.$$ $$\left[ x^3 + \frac{A}{2}x^2 + Bx \right]_0^1 = 5.$$ Sustituyendo los límites de integración: $$\left( 1^3 + \frac{A}{2}(1)^2 + B(1) \right) - (0) = 5 \implies 1 + \frac{A}{2} + B = 5.$$ Multiplicamos por 2 para eliminar denominadores: $$2 + A + 2B = 10 \implies A + 2B = 8 \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Aplicamos la Regla de Barrow para la segunda integral: $$\int_0^2 (3x^2 + Ax + B) \, dx = 14.$$ $$\left[ x^3 + \frac{A}{2}x^2 + Bx \right]_0^2 = 14.$$ Sustituyendo los límites: $$\left( 2^3 + \frac{A}{2}(2)^2 + B(2) \right) - (0) = 14 \implies 8 + 2A + 2B = 14.$$ Simplificamos restando 8 en ambos lados: $$2A + 2B = 6 \implies A + B = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** En la Regla de Barrow, $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} A + 2B = 8 \\ A + B = 3 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(A + 2B) - (A + B) = 8 - 3 \implies B = 5.$$ Sustituimos $B = 5$ en la segunda ecuación: $$A + 5 = 3 \implies A = -2.$$ Sustituimos los valores obtenidos en la expresión de $g(x) = 3x^2 + Ax + B$. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{g(x) = 3x^2 - 2x + 5}$$