Geometría en el espacio: Coplanaridad, Paralelogramos y Lugares Geométricos

**a) (1 punto) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono $ABCD$ es un paralelogramo.** Cuatro puntos son coplanarios si los vectores formados por ellos son linealmente dependientes. Definimos los vectores partiendo del punto $A$: $$\vec{AB} = B - A = (0-0, 6-5, 4-3) = (0, 1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2-0, 4-5, 2-3) = (2, -1, -1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (2-0, 3-5, 1-3) = (2, -2, -2)$$ Para comprobar si son coplanarios, calculamos el determinante del producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= (0 \cdot (-1) \cdot (-2)) + (1 \cdot (-1) \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot (-2)) - [(1 \cdot (-1) \cdot 2) + (0 \cdot (-1) \cdot (-2)) + (1 \cdot 2 \cdot (-2))]$$ $$= 0 - 2 - 4 - [-2 + 0 - 4] = -6 - (-6) = 0$$ Como el determinante es **cero**, los vectores son linealmente dependientes y, por tanto, los puntos **son coplanarios**. 💡 **Tip:** Si el volumen del paralelepípedo formado por tres vectores es cero (producto mixto nulo), los vectores (y sus puntos asociados) están en el mismo plano.

Para que el polígono $ABCD$ sea un paralelogramo, los vectores de los lados opuestos deben ser iguales (misma dirección, sentido y módulo). Comprobamos si $\vec{AB} = \vec{DC}$: $$\vec{AB} = (0, 1, 1)$$ $$\vec{DC} = C - D = (2-2, 4-3, 2-1) = (0, 1, 1)$$ Como $\vec{AB} = \vec{DC}$, los lados $AB$ y $DC$ son paralelos e iguales en longitud. Por tanto, el polígono $ABCD$ **es un paralelogramo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos son coplanarios y } ABCD \text{ es un paralelogramo}}$$

**b) (1 punto) Calcular el área de dicho paralelogramo.** El área de un paralelogramo definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$ se calcula mediante el módulo de su producto vectorial: $\text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$. Calculamos primero el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}(-2 - (-2)) - \vec{j}(0 - 2) + \vec{k}(0 - 2) = 0\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{v} = (0, 2, -2)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$\text{Área} = |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$ Simplificando: $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2,828$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que contiene a los otros dos, y su módulo representa el área del paralelogramo que forman. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{2} \text{ unidades}^2}$$

**c) (1 punto) Determinar el lugar geométrico de los puntos $P$ cuya proyección sobre el plano $ABCD$ es el punto medio del paralelogramo.** Primero calculamos el punto medio $M$ del paralelogramo. Este punto coincide con el punto medio de cualquiera de sus diagonales (por ejemplo, la diagonal $AC$): $$M = \frac{A + C}{2} = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{5+4}{2}, \frac{3+2}{2} \right) = (1, 4.5, 2.5)$$ O en forma de fracción: $M\left(1, \frac{9}{2}, \frac{5}{2}\right)$. 💡 **Tip:** En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio.

El lugar geométrico de los puntos $P$ cuya proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ es el punto $M$ es la **recta perpendicular al plano $\pi$ que pasa por $M$**. Necesitamos el vector normal al plano $\pi$ (formado por $ABCD$). Este vector es el producto vectorial calculado anteriormente: $$\vec{n} = (0, 2, -2)$$ Podemos usar un vector director proporcional más sencillo: $\vec{d} = (0, 1, -1)$. La recta $r$ que buscamos pasa por $M(1, 4.5, 2.5)$ y tiene dirección $\vec{d}(0, 1, -1)$. Su ecuación paramétrica es: $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 4,5 + \lambda \\ z = 2,5 - \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ En forma continua: $$x = 1, \quad \frac{y - 4,5}{1} = \frac{z - 2,5}{-1}$$ Que se puede expresar como el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x = 1 \\ y + z = 7 \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r: (x, y, z) = (1, 4.5, 2.5) + \lambda(0, 1, -1)}$$